2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第5章 5.1 & 5.2 解方程与数系的扩充_复数的概念

5．1_&_5.2解方程与数系的扩充_复数的概念
[读教材·填要点]
1．复数的概念
(1)虚数单位：规定一个符号i代表一个数，满足条件i2＝－1，称这个i为虚数单位．
(2)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b是实数)的数称为复数，记作z＝a＋bi，其中a 称为复数a＋bi的实部，记作Re_z，b称为a＋bi的虚部，记作Im_z.
2．复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
[小问题·大思维]
1．复数m＋ni的实部、虚部一定是m，n吗？
提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．
2．两个复数能比较大小吗？若a＋bi>0，则a，b满足什么条件？
提示：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
当b＝0时，能比较大小，
当b≠0时，不能比较大小．
即两个不全是实数的复数不能比较大小．
若a＋bi>0，则b＝0，a>0.
3．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
复数的分类
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)
A．0　　　 　B．1　　　
C．2　　　　 D．3
(2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
①是虚数；②是纯虚数．
[自主解答]　(1)选B　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝ －1<0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.
(2)①当即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
②当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面．
1．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2－m－6)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
解：(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝3或－2.即当m＝3或－2时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝－1.即当m＝－1时，z是纯虚数．
复数相等的充要条件
求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值．
[自主解答]　由复数相等的充要条件得
解得
若将等式换为“(2x－1)＋i＝(3－y)i”呢？
解：由复数相等的充要条件得
解得
解决复数相等问题的步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；
(3)解方程(组)．
2．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．
解：∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[巧思]　M∪P＝P，则M?P.
故(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
[妙解]　∵M∪P＝P，∴M?P.
又∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{ －1,1,4i}．
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1.
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
即或
解得m＝1或m＝2.
即实数m的值为1或2.
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．
C．－ D．2
解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，
由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
答案：D
2．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 018i＝2－bi，则a2＋bi＝(　　)
A．2 018＋2i B．2 018＋4i
C．2＋2 018i D．4－2 018i
解析：因为a＋2 018i＝2－bi，
所以a＝2，－b＝2 018，即a＝2，b＝－2 018，
所以a2＋bi＝4－2 018i.
答案：D
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
答案：D
4．复数(1＋)i的实部为________．
解析：复数(1＋)i＝0＋(1＋)i.
∴实部为0.
答案：0
5．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．
解析：由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，
从而解得m＝－1.
答案：－1
6．实数m为何值时，复数z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是：(1)实数？(2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)若z为实数，则

即
解得m＝－2.
∴当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，
则
即
解得m≠－2且m≠－1.
∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则
即
即
解得m＝0.
∴当m＝0时，复数z为纯虚数．
一、选择题
1．下列各数中，纯虚数的个数是(　　)
3＋ ，i, 0i , 3i＋8，i(2＋)，0.618
A．0　　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：根据纯虚数的定义知，i，i(2＋)是纯虚数．
答案：C
2．若复数a＋2i的实部和复数2＋(a2－a－3)i的虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．3 B．－1
C．3或－1 D．－3或1
解析：根据题意有a2－a－3＝a，即a2－2a－3＝0，
解得a＝3或a＝－1.
答案：C
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A.　　　　　　　　 　B．2
C．0 D．1
解析：由复数相等的充要条件知，
解得∴x＋y＝0.
∴2x＋y＝20＝1.
答案：D
4．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为(　　)
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
解析：由M∩N＝{3}，知
m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，
∴
解得m＝－1.
答案：C
二、填空题
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得
即
解得a＝0.
答案：0
6．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________.
解析：因为log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，
所以所以m＝4.
答案：4
7．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi(i为虚数单位)，则(－)2＝________.
解析：∵(a＋b)＋i＝－10＋abi，且a，b∈R，
∴
∴(－)2＝a＋b－2＝－10－2＝－12.
答案：－12
8．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
三、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当z为实数时，
有
所以
所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
有
所以即a≠±1且a≠6.
所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，有
所以
所以不存在实数a使得z为纯虚数．
10．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．