2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第5章 5.3 复数的四则运算

5．3复数的四则运算
[读教材·填要点]
复数的四则运算
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，有
(1)加法：z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i.
(2)减法：z1－z2＝a－c＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：＝＝＋i(c＋di≠0)．
[小问题·大思维]
1．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？
提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式．
3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？
提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．
复数的加减运算
已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝ 13－2i，求z1，z2.
[自主解答]　z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
1．(1)计算：＋(2－i)－.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
解：(1)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，
所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
复数的乘除运算
计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)(5－29i)÷(7－3i)．
[自主解答]　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)原式＝＝
＝＝＋i.
(4)原式＝＝
＝
＝＝5－2i.
(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样．
(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．
2．(1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部；
(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.
解：(1)由题意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i，
则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i.
于是复数(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2.
(2)设纯虚数z＝bi(b∈R)，
则＝＝＝.
由于是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i.
复数范围内的方程问题
若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，求纯虚数m的值．
[自主解答]　设m＝bi(b≠0)，x0为一实根，代入原方程得x＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0.
∴(x＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0.
∴解得∴m＝i.
若将“求纯虚数m”改为“求实数m”，如何求解？
解：x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0，
即(x2＋x)＋(2x－3m＋1)i＝0，
∴∴或
即m＝或－.
复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决．
3．已知关于x的方程x2＋kx－i＝0有一根是i，求k的值．
解：因为i为方程x2＋kx－i＝0的一个根，
所以代入原方程，得i2＋ki－i＝0.
所以k＝＝＝1－i.
计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018.
[解]　法一：∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018
＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018)
＝1＋i＋i2＝i.
法二：1＋i＋i2＋…＋i2 018
＝＝
＝＝＝i.
1．(6－2i)－(3i＋1)等于(　　)
A．3－3i　　　　　　　 　B．5－5i
C．7＋i D．5＋5i
解析：(6－2i)－(3i＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i＝5－5i.
答案：B
2．(全国卷Ⅱ)＝(　　)
A．1＋2i　　　　　　　　 　B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：＝＝＝2－i.
答案：D
3．已知复数z＝1－i，则＝(　　)
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
答案：B
4．若z＝－时，求z2 018＋z102＝________.
解析：z2＝2＝－i.
z2 018＋z102＝(－i)1 009＋(－i)51
＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3
＝－i＋i＝0
答案：0
5．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3.
答案：3
6．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
1．设i为虚数单位，则＝(　　)
A．－2－3i　　　　　　　　 　B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
解析：＝＝＝2－3i.
答案：C
2．(山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
答案：A
3．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.
答案：B
4．已知z1＝－2－3i，z2＝，则＝(　　)
A．－4＋3i B．3＋4i
C．3－4i D．4－3i
解析：∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
答案：D
二、填空题
5．复数＋的虚部是________．
解析：∵＋＝(－2－i)＋(1＋2i)＝－＋i，
∴虚部是.
答案：
6．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝______.
解析：∵z＝i(2－z)，∴z＝2i－iz，
∴(1＋i)z＝2i，∴z＝＝1＋i.
答案：1＋i
7．(天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
8．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根，则实数a，b的值分别为________，________.
解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即
解得a＝2，b＝2.
答案：2　2
三、解答题
9．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，
∴设a＝mi(m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0.
∴
∴m＝4.∴a＝4i.
10．已知x，y∈R，且＋＝，求x，y的值．
解：∵＋＝，
∴＋＝.
即5x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i.
(5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i.
∴解得