2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第3章 3．6 直线与平面、平面与平面所成的角

3．6直线与平面、平面与平面所成的角
[读教材·填要点]
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如果直线l与平面α垂直，l与平面α所成的角θ为直角，θ＝.如果直线l与平面α不垂直，则l在α内的射影是一条直线l′，将l与l′所成的角θ定义为l与平面α所成的角．
(2)范围：θ∈.
(3)计算：作直线l的方向向量v和平面α的法向量n，并且可选v与n所成的角θ1∈，则l与平面α所成的角 θ＝－θ1，sin θ＝cos_θ1＝.
2．二面角
(1)定义：从一条直线l出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l-β.
(2)二面角的平面角
过二面角α-l-β的棱l上任意一点O作垂直于棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角α-l-β的平面角．
(3)二面角的范围
二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l-β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．
3．两个平面所成的角
两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是.两个平行平面所成的角为0°.
[小问题·大思维]
1．当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？
提示：不一定，这条直线可能与平面平行．
2．设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，如何用a和n求角θ？
提示：sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？
提示：相等或互补．
求直线与平面所成的角
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
[自主解答]　如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
则N(1,0,1)，
∴＝(－2,2,0)，＝(0,2,0)，＝(1,0,1)．
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由
得
取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1,0，－1)．
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：
(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定向量夹角的范围；
(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.
1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．
解：如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
由AB＝AC＝1，PA＝2，
得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.
∴＝(0,0，－2)，＝，＝.
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
则
即解得
取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．
设PA与平面DEF所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
求二面角
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
[自主解答]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角，
所以二面角C1-OB1-D的余弦值为.
利用法向量求二面角的步骤为：
(1)确定两平面的法向量；
(2)求两法向量的夹角的余弦值；
(3)确定二面角的范围；
(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．
2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
解：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，
所以AF⊥平面EFDC.
又AF?平面ABEF，
故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由(1)知DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz.
由(1)知∠DFE为二面角D -AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．
由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，
故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°.
从而可得C(－2,0，)．
所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，
则即
所以可取n＝(3,0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)．
则cos 〈n，m〉＝＝－.
由图知，二面角E-BC-A为钝角，
故二面角E-BC-A的余弦值为－.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A-PB-C的余弦值．
[解]　法一：如图所示，取PB的中点D，连接CD.
∵PC＝BC＝，
∴CD⊥PB.
∴作AE⊥PB于E，那么二面角A-PB-C的大小就等于异面直线DC与EA所成的角θ的大小．
∵PD＝1，PE＝＝，
∴DE＝PD－PE＝.
又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，
＝＋＋，且⊥，⊥，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||cos(π－θ)，即1＝＋＋1－2··1·cos θ，
解得cos θ＝.
故二面角A-PB-C的余弦值为.
法二：由法一可知，向量与的夹角的大小就是二面角A-PB-C的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D为PB的中点，D.
又＝＝，即E分的比为.
∴E，＝，
＝，||＝，||＝1，
·＝×＋×＋×＝.
∴cos〈，〉＝＝.
故二面角A-PB-C的余弦值为.
法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)， ＝(0，－1,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则??
令x＝1，则m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则
??
令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝＝.
∴二面角A-PB-C的余弦值为.
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°　　　　　　　 B．60°
C．30° D．以上均错
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 120°|＝，
又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°.
答案：C
2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PA＝PB＝PC＝a.
取AB的中点D，连接PD，CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．
易求PD＝a，CD＝a，
故cos∠PDC＝＝.
答案：B
3．在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝a，这时二面角B-AD-C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由定义知，∠BDC为所求二面角的平面角，
又BC＝BD＝DC＝a，
∴△BDC为等边三角形，∴∠BDC＝60°.
答案：C
4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m＝(0,0,3)，n＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．
解析：cos〈m，n〉＝＝＝.
答案：
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．
解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．
又＝(－1,1,1)，
＝(－1,0,1)．
所以cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.
答案：
6．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．
解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.
因为AB＝AD＝2，
AA1＝，∠BAD＝120°，
则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)．
(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．
则cos〈，〉＝＝＝－.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．
设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，
又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，
则即
不妨取x＝3，则y＝，z＝2，
所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，
从而cos〈，m〉＝＝＝.
设二面角B-A1D-A的大小为θ，则|cos θ|＝.
因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.
因此二面角B-A1D-A的正弦值为.
一、选择题
1．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：∵cos〈a，n〉＝
＝＝＝.
∴l与α所成角的正弦值为.
答案：B
2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　)
A．120°　　　　　　　 B．45°
C．135° D．60°
解析：以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有可取n＝(1,0,1)，又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
答案：B
3．在直角坐标系中，已知A(2,3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B，使∠AOB＝90°，则cos θ为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析： 过A，B分别作x轴垂线，垂足分别为A′，B′.则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，折后，∠AOB＝90°，∴AB＝＝.
由＝＋＋，得
||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)．
∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，
∴cos θ＝.
答案：C
4.已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　)
A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角
B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角
C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角
D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角
解析：选项A错误，若DE⊥PC，则PC⊥平面ADE，所以PC⊥AE，又AE⊥PB，所以AE⊥平面PBC，同理可证：AD⊥平面PBC，这是不可能的．
选项B正确，因为PA⊥BC，AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以AD⊥BC，又AD⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AD⊥平面PBC，又因为AE⊥PB，所以DE⊥PB，所以∠AED为二面角A-PB-C的平面角．
选项C错误，因为PA⊥平面α，所以PA ⊥AC且PA⊥AB，所以∠CAB为二面角B-PA-C的平面角，因此，∠DAE不是二面角B-PA-C的平面角．
选项D错误，在△PAC中，∠PAC＝90°，所以AC与PC不垂直，因此，∠ACB不是二面角A-PC-B的平面角．
答案：B
二、填空题
5．如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________．
解析：不妨设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝， ＝(，1,2)，
设平面B1DC的法向量为
n＝(x，y,1)，由
解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为________．
解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，
则A，B，
D.
∴＝，＝，＝.
由于＝为平面BCD的法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝，
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴二面角A-BD-C的正弦值为.
答案：
7．已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．
∴＝(，1,0)， ＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则
令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)．
设AB与平面SBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
答案：
8．在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为________．
解析：由题意，可得
体积V＝CC1·S△ABC＝CC1··AC·BC＝CC1＝1，
∴CC1＝2.
建立如图所示空间直角坐标系，得点B(0,1,0)，.
则＝(－1,1，－2)，
又平面BB1C1C的法向量为n＝(1,0,0)．
设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，与n的夹角为φ，
则cos φ＝＝－，
∴sin θ＝|cos φ|＝，
即直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
答案：
三、解答题
9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， ＝(10,0,0)， ＝(0，－6，8)．设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即
所以可取n＝(0,4,3)．
又＝(－10,4,8)，
故|cos〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0.　①
又M在棱PC上，设＝λ，
则x＝λ，y＝1，z＝－λ.　②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，
则即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
由图知二面角M-AB-D为锐角，
因此二面角M-AB-D的余弦值为.