2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第3章 3．8 共面与平行
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第3章 3．8 共面与平行 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 363.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 16:25:46 | ||
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文档简介
3．8共面与平行
[读教材·填要点]
1．共面
(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面．
(2)A，B，C，D共面?直线AD在平面ABC内?⊥n(其中n为平面ABC的法向量)．
2．直线与平面共面或平行的判定
一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n?l∥α或l?α.
如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则l?α.
如果v⊥n且l上至少有一点A?α，则l∥α.
[小问题·大思维]
若直线l的方向向量为u＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v＝(2,2，－1)，那l与α的位置关系是什么？
提示：∵u·v＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥v.
∴l∥α或l?α.
四点共面问题
判断A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由．
[自主解答] ∵A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，
∴＝(3,4,5)，＝(1,2,2)
设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即∴x＋z＝0.
令x＝1，则z＝－1，y＝，
∴n＝.
又∵D(10,14,17)，∴＝(9,14,16)，
∴·n＝(9,14,16)·
＝9×1＋14×－16＝0，
∴n⊥.
又∵A∈平面ABC，
∴AD?平面ABC，∴A，B，C，D四点共面．
(1)A，B，C，D共面?直线AD在平面ABC内?⊥n.
(2)(共面向量定理)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式＝x＋y成立．
1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．
解：∵A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，
∴＝(－3,4,0)，＝(－3,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则n·＝0，且n·＝0，
∴令x1＝4，则y1＝3，z1＝6，
即n＝(4,3,6)．
又∵P(x，y，z)在平面ABC内，
∴·n＝0，即(x－3，y，z)·(4,3,6)＝0，
∴4x－12＋3y＋6z＝0，
即4x＋3y＋6z＝12.
证明线面平行、面面平行
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[自主解答] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)，
F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即
得令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
则n2⊥，n2⊥，
即
得
令z2＝2得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
2.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：AM∥平面BDE.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝，且A?NE，
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
于是＝，
＝(1,0,1)．
得＝2，
又M?DA1，∴DA1∥MN.
而MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
法三：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥.而MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
[点评] 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)．
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
解析：当a·b＝0时，
l?α或l∥α.
答案：D
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：A、B、C均能表示l∥α或l?α.
答案：D
3．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．xOy和yOz都平行
解析：∵A，B两点横坐标相同，∴AB与yOz平面平行．
答案：C
4．已知直线l的方向向量为ν＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n＝(2,4,1)，且l?α，则l与α的位置关系是________．
解析：因为ν·n＝2－4＋2＝0，所以ν⊥n.
又l?α，所以l∥α.
答案：l∥α
5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(2,1,4)，则m＝________.
解析：∵l∥α，
∴2×2＋m×1＋1×4＝0.
∴m＝－8.
答案：－8
6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.
求证：MN∥平面ADD1A1.
证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E .
∵M，N分别为AE，CD1的中点，
∴M，N .
∴＝.
取n＝(0,1,0)，显然n⊥平面ADD1A1，且·n＝0，
∴⊥n.
又MN?平面ADD1A1，
∴MN∥平面ADD1A1.
一、选择题
1．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则，，不共面
解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B、C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
答案：D
2．已知直线l的一个方向向量为a＝(－2,0,1)，平面α的一个法向量为b＝(2，－1,4)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l?α
C．l与α相交 D．l∥α或l?α
解析：∵a·b＝(－2,0,1)·(2，－1,4)＝－4＋0＋4＝0，
∴a⊥b，
∴l∥α或l?α.
答案：D
3．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为( )
A．10 B．－10
C. D．－
解析：∵α∥β，∴a∥b，
∴＝＝，∴x＝.
答案：C
4.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，|A1B|＝|AC|＝a，
所以＝，＝，
所以＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋＋＋
＝＋＝＋，
所以， ，共面，
因为MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
答案：B
二、填空题
5．直线l不在平面ABC内，且l上两点C，D满足＝λ1＋λ2，则直线l与平面ABC的位置关系是________．
答案：平行
6．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，ν＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．
解析：∵u·ν＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，
∴u⊥ν，∴α⊥β.
答案：垂直
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为a＝(1,3，z)，向量b＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析：∵l⊥α，b∥α，∴a⊥b，
∴a·b＝(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3－6＋z＝0，则z＝3.
答案：3
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．则平面EFG与平面HMN的位置关系为________．
解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2，1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，
＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)， ＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量．
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)；
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
∵m＝n.即m∥n.
∴平面EFG∥平面HMN.
答案：平行
三、解答题
9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC交BD于G，连接EG.
设DC＝a，依题意得A(a,0,0)，
P(0,0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为.
∴＝(a,0，－a)，＝.
故＝2，这表明PA∥EG.
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．再设Q(0,2，c)
∴＝(1，－1,0)，
＝(－1，－1，1)，
＝(－2,0，c)，
＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0.
∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[读教材·填要点]
1．共面
(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面．
(2)A，B，C，D共面?直线AD在平面ABC内?⊥n(其中n为平面ABC的法向量)．
2．直线与平面共面或平行的判定
一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n?l∥α或l?α.
如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则l?α.
如果v⊥n且l上至少有一点A?α，则l∥α.
[小问题·大思维]
若直线l的方向向量为u＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v＝(2,2，－1)，那l与α的位置关系是什么？
提示：∵u·v＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥v.
∴l∥α或l?α.
四点共面问题
判断A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由．
[自主解答] ∵A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，
∴＝(3,4,5)，＝(1,2,2)
设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即∴x＋z＝0.
令x＝1，则z＝－1，y＝，
∴n＝.
又∵D(10,14,17)，∴＝(9,14,16)，
∴·n＝(9,14,16)·
＝9×1＋14×－16＝0，
∴n⊥.
又∵A∈平面ABC，
∴AD?平面ABC，∴A，B，C，D四点共面．
(1)A，B，C，D共面?直线AD在平面ABC内?⊥n.
(2)(共面向量定理)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式＝x＋y成立．
1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．
解：∵A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，
∴＝(－3,4,0)，＝(－3,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则n·＝0，且n·＝0，
∴令x1＝4，则y1＝3，z1＝6，
即n＝(4,3,6)．
又∵P(x，y，z)在平面ABC内，
∴·n＝0，即(x－3，y，z)·(4,3,6)＝0，
∴4x－12＋3y＋6z＝0，
即4x＋3y＋6z＝12.
证明线面平行、面面平行
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[自主解答] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)，
F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即
得令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
则n2⊥，n2⊥，
即
得
令z2＝2得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
2.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：AM∥平面BDE.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝，且A?NE，
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
于是＝，
＝(1,0,1)．
得＝2，
又M?DA1，∴DA1∥MN.
而MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
法三：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥.而MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
[点评] 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)．
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
解析：当a·b＝0时，
l?α或l∥α.
答案：D
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：A、B、C均能表示l∥α或l?α.
答案：D
3．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．xOy和yOz都平行
解析：∵A，B两点横坐标相同，∴AB与yOz平面平行．
答案：C
4．已知直线l的方向向量为ν＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n＝(2,4,1)，且l?α，则l与α的位置关系是________．
解析：因为ν·n＝2－4＋2＝0，所以ν⊥n.
又l?α，所以l∥α.
答案：l∥α
5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(2,1,4)，则m＝________.
解析：∵l∥α，
∴2×2＋m×1＋1×4＝0.
∴m＝－8.
答案：－8
6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.
求证：MN∥平面ADD1A1.
证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E .
∵M，N分别为AE，CD1的中点，
∴M，N .
∴＝.
取n＝(0,1,0)，显然n⊥平面ADD1A1，且·n＝0，
∴⊥n.
又MN?平面ADD1A1，
∴MN∥平面ADD1A1.
一、选择题
1．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则，，不共面
解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B、C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
答案：D
2．已知直线l的一个方向向量为a＝(－2,0,1)，平面α的一个法向量为b＝(2，－1,4)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l?α
C．l与α相交 D．l∥α或l?α
解析：∵a·b＝(－2,0,1)·(2，－1,4)＝－4＋0＋4＝0，
∴a⊥b，
∴l∥α或l?α.
答案：D
3．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为( )
A．10 B．－10
C. D．－
解析：∵α∥β，∴a∥b，
∴＝＝，∴x＝.
答案：C
4.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，|A1B|＝|AC|＝a，
所以＝，＝，
所以＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋＋＋
＝＋＝＋，
所以， ，共面，
因为MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
答案：B
二、填空题
5．直线l不在平面ABC内，且l上两点C，D满足＝λ1＋λ2，则直线l与平面ABC的位置关系是________．
答案：平行
6．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，ν＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．
解析：∵u·ν＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，
∴u⊥ν，∴α⊥β.
答案：垂直
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为a＝(1,3，z)，向量b＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析：∵l⊥α，b∥α，∴a⊥b，
∴a·b＝(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3－6＋z＝0，则z＝3.
答案：3
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．则平面EFG与平面HMN的位置关系为________．
解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2，1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，
＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)， ＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量．
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)；
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
∵m＝n.即m∥n.
∴平面EFG∥平面HMN.
答案：平行
三、解答题
9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC交BD于G，连接EG.
设DC＝a，依题意得A(a,0,0)，
P(0,0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为.
∴＝(a,0，－a)，＝.
故＝2，这表明PA∥EG.
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．再设Q(0,2，c)
∴＝(1，－1,0)，
＝(－1，－1，1)，
＝(－2,0，c)，
＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0.
∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
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