2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“?x∈R,2x－3>1”的否定是(　　)
A．?x∈R,2x－3≤1　　 B．?x∈R,2x－3>1
C．?x∈R,2x－3≤1 D．?x∈R,2x－3>1
答案：C
2．已知椭圆E：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，M是平面内任一点．则“|MF1|＋|MF2|＝4”是“点M在椭圆E上”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知，椭圆的长轴长2a＝4，根据椭圆的定义知，C选项正确．
答案：C
3．双曲线的渐近线为y＝±x，且过点M(2，－)，则双曲线的方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析：依题意可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，将M(2，－)代入双曲线方程，得λ＝－1.故所求双曲线方程为y2－＝1.
答案：D
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.
答案：C
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)．
又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.
∴2n＝5，n＝.∴|a|＝ ＝.
答案：D
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
答案：A
7．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：双曲线－＝－1化为－＝1，
其焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．
所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.
∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
答案：D
8．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：由于a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，且c＞d.故A中p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．
答案：A
9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：建系如图，设正方体棱长为1，则＝(0,0,1)．
∵B1D⊥平面ACD1，
∴取＝(－1，－1，－1)为平面ACD1的法向量．
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，
∴cos θ＝.
答案：D
10．已知抛物线y2＝ax与直线y＝1－x有唯一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：将x＝1－y代入抛物线方程，得y2＋ay－a＝0，依题意有Δ＝a2＋4a＝0，所以a＝－4，抛物线方程为y2＝－4x.故焦点到准线距离为p＝2.
答案：B
11．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝
＝＝＝.故选A.
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.
答案：A
12.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，
C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．
解析：不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.
答案：
14．已知平面α的一个法向量为a，与平面β平行的一个非零向量为b，给出下列命题：①α∥β?a⊥b；②α⊥β?a∥b；③a∥b?α⊥β；④a⊥b?α∥β.其中正确的有________．
解析：①③正确；②中由α⊥β可得a∥β或a?β，虽然有b∥β，但a与b不一定平行，④中由a⊥b得不到α∥β.
答案：①③
15．命题“?x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵?x∈R,2x2－3ax＋9＜0为假命题，
∴?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8.
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
16．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：建系如图，则M，
N，A(1,0,0)，C(0,1,0)
∴＝，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若条件綈q是条件綈p的充分条件，求实数a的取值范围．
解：当a>时，集合B可化为B＝[2,3a＋1]，
由题意知p是q的充分条件，要满足上述条件，
需有解得1≤a≤3.
当a＝时，显然不满足题意．
当a<时，集合B可化为B＝[3a＋1,2]，
要满足p是q的充分条件，
需有解得a＝－1.
综上，实数a的取值范围是[1,3]∪{－1}．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.
∵ ·＝·(0，a,0)＝0.
∴⊥，∴EF⊥CD.
(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)，
∴cos〈，n〉＝＝＝.
故DB与平面DEF所成角的正弦值为.
20．(本小题满分12分)已知抛物线：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
解：(1)由已知，直线l的方程为x＝4时不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为，
直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程
消去x得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为AB的中点，
所以＝y0，
即＝y0，
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
21．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.
　
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，
E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE, 所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，
平面A1BE⊥平面BCDE，
又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，
所以∠A1OC＝.
如图，以O为原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，
BC∥ED，
所以B，E，
A1，C，
得＝，＝，
＝＝(－，0,0)．
设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，
则得取n1＝(1,1,1)；
得取n2＝(0,1,1)，
从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
22．(本小题满分12分)已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
(2)在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，
消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由线段AB中点的横坐标是－，
得＝－＝－，
解得k＝±，适合①.
所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．
①当直线AB与x轴不垂直时，
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.③
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
将③代入，整理得·＝＋m2
＝＋m2
＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，
从而有6m＋14＝0，m＝－，此时·＝.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，，
当m＝－时，亦有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．