2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 1．1.1　命题的概念和例子

1．1命题及其关系
1．1.1　命题的概念和例子
[读教材·填要点]
1．命题的概念
可以判断成立或不成立的语句叫作命题．
2．命题的分类
(1)真命题：成立的命题叫作真命题．
(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．
(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．
[小问题·大思维]
1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？
提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．
2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？
提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．
命题的概念
判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证π是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(3)一个数的算术平方根一定是负数；
(4)梯形是不是平面图形呢？
[自主解答]　(1)是祈使句，不是命题；
(2)可以判断其是否成立，故为命题；
(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；
(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．
1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)空集是任何非空集合的真子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x>3.
解：(1)能判断其是否成立，是命题；
(2)能判断其是否成立，是命题；
(3)是疑问句，不是命题；
(4)不能判断其是否成立，不是命题．
真假命题的判断
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．
[自主解答]　(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．
(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．
(4)是真命题，
令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，
则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，
显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，
故ab是奇数．
若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．
解：当a＝，b＝－时，a，b都是无理数，但 ×(－)＝－5是有理数，故该命题为假命题．
判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．
2．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)形如a＋b的数是无理数；
(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(3)奇函数的图象关于原点对称；
(4)能被2整除的数一定能被4整除．
解：(1)假命题，反例：a是有理数且b＝0，则a＋b是有理数．
(2)假命题．若数列{an}为等比数列，且a1＝－1，q＝2，则该数列为递减数列．
(3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称．
(4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．
命题的综合问题
试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
[自主解答]　方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．
3．下面的命题中是真命题的是(　　)
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：选B　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
若命题“如果5x－1>a，那么x>1”是真命题，求实数a的取值范围．
[巧思]　“如果5x－1>a，那么x>1”是真命题，则不等式5x－1>a的解集是x>1的子集．
[妙解]　由5x－1>a，得x>(1＋a)．
∵命题“如果5x－1>a那么x>1”是真命题，
∴?(1，＋∞)．
∴≥1，即a≥4.
即a的取值范围是[4，＋∞)．
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国　　　　 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
答案：A
2．下列命题中的真命题是(　　)
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若a2＝b2，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．
答案：C
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4 B．2
C．0 D．－3
解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
答案：C
4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．
解析：因为a，b，c相互不共线，
所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．
又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．
答案：②④
5．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.
其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．
解析：①为真命题，②③④为假命题．
答案：①
6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．
解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.
解得x>2或x<1，
∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．
一、选择题
1．下列语句中是命题的是(　　)
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．
答案：B
2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：①③错误；②④正确．
答案：B
3．下列命题中，为真命题的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍
C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切
解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．
答案：B
4．给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列语句：
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？
②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④若m＞0，a＞b＞0，则＞.
其中真命题的序号为________．
解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A?B，B?A，则A＝B；④显然正确，可以证明．
答案：③④
6．给出下列命题：
①方程x2－x＋1＝0有两个实根；
②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
③若p＞0，则p2＞p；
④正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．
答案：②　①③④
7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)
解析：由x＝x，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.
答案：②③
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有解得－3≤a<0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个数不是合数就是质数．
(2)大角所对的边大于小角所对的边．
(3)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数．
(4)求证x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实根．
解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数．
(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．
(3)是假命题，如x＝，y＝－.
(4)祈使句，不是命题．
10．判断命题：“若a＋b＝2，则直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的真假．
解：由已知a＋b＝2，
圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝＝r，
所以直线与圆相切，即命题为真.