2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 1．1.2　命题的四种形式

1．1.2　命题的四种形式
[读教材·填要点]
1．四种命题结构
2．四种命题的相互关系
3．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[小问题·大思维]
1．命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？
提示：由四种命题间的关系可知a与d是一个命题．
2．如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？
提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．
3．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？
提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.
四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；
(2)对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.
[自主解答]　逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝.
否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β.
逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠.
(2)逆命题：对任意非正数c，若有a≤b成立，则a≤b＋c.
否命题：对任意非正数c，若有a>b＋c成立，则a>b.
逆否命题：对任意非正数c，若有a>b成立，则a>b＋c.
四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面．
解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
四种命题真假的判断
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
(2)“正三角形都相似”的逆命题；
(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
(4)“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
[自主解答]　(1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．　真命题
(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．　假命题
(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m<0.
∴m<－≤0.　真命题
(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．
∵x不是无理数，∴x是有理数．又是无理数，
∴x－是无理数，不是有理数．　真命题
若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？
解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，故m≤0，为真命题．
在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的等价关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．
2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
解：“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．
等价命题的应用
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[自主解答]　法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
3．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[解]　法一：逆否命题：已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a＜1，所以4a－7＜0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.
故逆否命题为真命题．
法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0.即4a－7≥0，解得
a≥≥1.所以原命题为真，故其逆否命题为真．
法三：利用集合的包含关系求解．
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，命题q：a≥1，
所以p：A＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝；
q：B＝{a|a≥1}．
因为A?B，所以“若p，则q”为真命题．
所以原命题的逆否命题为真．
[点评]　因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，所以判断某个命题真假时，可以改为判断它的逆否命题的真假．当命题与不等式的解集有关时，也可以利用集合的包含关系．
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
答案：D
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
答案：A
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：“若a>－3，则a>－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.
答案：C
4．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
解析：“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
5．有下列四个命题：
①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中是真命题的是______________(填上你认为正确的命题的序号)．
解析：④中由A∩B＝B，应该得出B?A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．
答案：①②③
6．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；
(2)若ab＝0，则a＝0；
(3)若x∈A，则x∈A∪B.
解：(1)逆命题：在△ABC中，
若∠A>∠B，则a>b，真命题；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题；
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题；
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A，假命题；
否命题：若x?A，则x?A∪B，假命题；
逆否命题：若x?A∪B，则x?A，真命题．
一、选择题
1．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是(　　)
A．若a＋1≤b，则a>b　　 B．若a＋1b
C．若a＋1≤b，则a≤b D．若a＋1解析：把条件与结论交换，再否定．
答案：C
2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
答案：B
3．下列说法中错误的是(　　)
A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”
B．命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x<1，则x－1<0”
C．命题“0，－2,0.4都是偶数”的否命题是“0，－2,0.4不都是偶数”
D．命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
解析：命题“若x>1，则x－1>0”的否命题应该是“若x≤1，则x－1≤0”．
答案：B
4．命题“函数f(x)·g(x)在定义R上，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题，否命题，逆否命题中正确的命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)·g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝，g(x)＝x2＋1都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有逆否命题正确．
答案：B
二、填空题
5．命题“若A∪B＝B，则A?B”的否命题是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________，
逆否命题是________________________________________________________．
解析：命题“若A∪B＝B，则A?B”的否命题是“若A∪B≠B，则AB”，逆否命题是“若AB，则A∪B≠B”．
答案：若A∪B≠B，则AB　若AB，则A∪B≠B
6．给定下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实根；
②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①Δ＝4＋4k＞0，∴是真命题．
②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．
答案：①②
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若x≠1时，则x2－3x＋2≠0；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠1，是真命题；
否命题：若x＝1，则x2－3x＋2＝0，是真命题；
逆否命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝1，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝?”是假命题，求实数m的取值范围．
解：因为A∩B＝?是假命题，
所以A∩B≠?.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2都非负，则有
即
解得m≥.
又集合在全集U中的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．