2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 1．1.3　充分条件和必要条件

1．1.3　充分条件和必要条件
[读教材·填要点]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系
p?q
p q
p?q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
p是q的充分必要条件，p和q称为互相等价
[小问题·大思维]
1．如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
2．若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？
提示：A＝B.
3．p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是s的充要条件吗？
提示：是．∵p是q的充要条件，∴p?q.又q是s的充要条件，∴q?s.故p?s，即p是s的充要条件．
充分条件、必要条件的理解
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件：
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
(2)若f(x)＝x，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(3)若x为无理数，则x2为无理数；
(4)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．
[自主解答]　(1)当x＝1时，x2－4x＋3＝1－4＋3＝0，因此命题是真命题，即p?q，故p是q的充分条件．
(2)易知函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是增函数，因此命题是真命题，即p?q，故p是q的充分条件．
(3)当x＝时，x2＝()2＝2不是无理数，因此命题是假命题，即p q，故p不是q的充分条件．
(4)两条垂直于x轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即pq，故p不是q的充分条件．
p是q的充分条件是由命题“若p，则q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若p，则q”为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若命题“若p，则q”为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；
(2)若有且只有一个实数λ，使a＝λb，则a∥b；
(3)若l∥α，则直线l与平面α所成角大小为0°；
(4)若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则f(x)是单调增函数．
解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件．
充分条件与必要条件的判断
(1)(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[自主解答]　(1)由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
(2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
(3)命题“若x≠y，则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x＝cos y，则x＝y”，这个命题是假命题，故x≠ycos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y，则x≠y”等价于命题“若x＝y，则cos x＝cos y”，这个命题是真命题，故cos x≠cos y?x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
[答案]　(1)B　(2)A　(3)C
充要条件的判断方法
(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假；③下结论：根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理，得＝，
故a≤b?sin A≤sin B，选A.
答案：A
3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
充要条件的证明
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[自主解答]　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式
Δ＝b2－4ac>0.
∴方程一定有两不等实根．
设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0.
综上可知：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
4．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[巧思]　先求不等式的解集，然后根据充分条件以及必要条件的意义，将命题间的关系转化为集合间的关系即可求解．
[妙解]　p：－2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)．
q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}．
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为(0,3]．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
答案：A
2．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，
C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，
∵A∪B＝C，
∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
答案：C
3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．
答案：D
4．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的________条件．
解析：a和b都是偶数?a＋b是偶数；
a＋b是偶数 a和b都是偶数．
答案：充分不必要
5．设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；
③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α.
其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
解析：由线面垂直的判定定理可知，②④为m⊥β的充分条件．
答案：②④
6．如果p：x(x－3)<0是q：2x－3解：p：x(x－3)<0，即0即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
一、选择题
1．“x>1”是“|x|>1”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：x>1?|x|>1，而|x|>1?x>1或x<－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件．
答案：A
2．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：一方面，若0＜ab＜1，则当a＜0时，0＞b＞，
∴b＜不成立；另一方面，若b＜，则当a＜0时，ab＞1，
∴0＜ab＜1不成立，故选D.
答案：D
3．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是(　　)
A．－1≤a<0　　　　　 B．a>－1
C．a≥－1 D．－1≤a<0或a>0
解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，x＝1>0.
答案：C
4．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0 D．2x<1
解析：∵|x|＝x?x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
答案：B
二、填空题
5．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?/ B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但qp，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
7．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
8．已知“－1解析：当方程x2＋y2＋kx＋y＋k2＝0表示圆时，
k2＋3－4k2>0，解得－1所以－1即实数m的取值范围是(－1,1]．
答案：(－1,1]
三、解答题
9．判断下列结论是否正确，并说明理由．
(1)已知α，β是两个不同的平面，m为α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充分条件；
(2)“a2>b2” 是“a>b”的必要条件；
(3)直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，
则“ab＝1”是l1∥l2的必要条件；
(4)条件p：b＝0，条件q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则q是p的充分条件．
解：(1) m⊥β，
(反例：m可能与β平行)，
∴“α⊥β”不是“m⊥β”的充分条件．
(2)∵a>ba2>b2，
(反例：0>－2但02<(－2)2)，
∴“a2>b2”不是“a>b”的必要条件．
(3)∵l1∥l2，l1的斜率为－a，
∴l2的斜率存在且与l1的斜率相等．
∴－＝－a，
∴ab＝1.
即“l1∥l2”?ab＝1，
∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要条件．
(4)∵f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，
∴由f(－x)＝f(x)得b＝0.
∴q是p的充分条件．
10．是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
解：由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0得B＝.
当B?A时，即－≤－1，即p≥4.
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
所以p的取值范围为[4，＋∞)．