2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 1．2.1　逻辑联结词“非”、“且”和“或”

1．2简单的逻辑联结词
1．2.1　逻辑联结词“非”、“且”和“或”
[读教材·填要点]
1．联结词“非”
设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作綈p，读作“非p”或“不是p”．
2．联结词“且”
用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
3．联结词“或”
用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
4．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[小问题·大思维]
1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？
提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．
2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？
提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．
3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？
提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．
如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.
逻辑联结词“非”
写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)p：3＋4>6；
(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；
(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．
[自主解答]　(1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.
由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．
(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．
由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．
(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．
由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．
若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？
解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．
写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．
1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．
(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；
(2)全等的三角形是相似三角形．
解：原命题的否定：
(1)若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数，为假命题．
(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题．
原命题的否命题：
(1)若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶函数，为假命题．
(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题．
逻辑联结词“且”
对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假．
(1)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；
(2)p：π>3，q：π<2；
(3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.
[自主解答]　(1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题．
(2)p∧q：“π大于3且小于2”，是假命题．
(3)p∧q：“x≠0，则xy≠0，且y≠0，则xy≠0”，是假命题．
逻辑联结词“且”联结的是两个命题，若两个命题具有相同的条件，则联结后可以省略一个条件，而用“且”联结两个结论；若两个命题的条件不同，但结论相同，则不可以用“且”联结两个条件而省略一个结论(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)，要完整地写出两个命题，用“且”联结．
2．用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假．
(1)24既是8的倍数，又是9的倍数；
(2)y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数；
(3)函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数．
解：(1)命题“24既是8的倍数，又是9的倍数”可以改写为“24是8的倍数且是9的倍数”，因为“24是9的倍数”是假命题，所以这个命题是假命题．
(2)命题“y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数”可以改写为“y＝x＋1是单调增函数且y＝x3是单调增函数”．因为“y＝x＋1是单调增函数”与“y＝x3是单调增函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．
(3)命题“函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数”可以改写为“函数y＝sin x是奇函数且是周期函数”．因为“函数y＝sin x是奇函数”与“函数y＝sin x是周期函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．
逻辑联结词“或”
对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．
(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；
(2)p：4＞5，q：4＜5；
(3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1，
q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2.
[自主解答]　(1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．
(2)p∨q：“4＞5或4＜5”，即“4≠5”，是真命题；
(3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”，是假命题．
p∨q形式的命题与p∧q形式的命题不同的是：两命题的条件相同时，p∧q形式的命题可以省去一个条件，而p∨q形式的命题则不可以(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)；两命题的结论相同时，p∧q形式的命题有时不能用“且”联结两个条件，而p∨q形式的命题却可以．
3．判断下列命题的真假．
(1)4≥4；
(2)仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形．
解：(1)命题“4≥4”的含义是“4>4或4＝4”，其中“4＝4”是真命题，所以“4≥4”是真命题．
(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“p∨q”形式的命题，
其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，
q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．
因为p真q假，所以p∨q为真，故原命题是真命题．
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
[巧思]　因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，故p和q必有一真一假．因此可先求出p，q为真命题时a的取值范围，然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围．
[妙解]　对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
1．“xy≠0”是指(　　)
A．x≠0且y≠0　　　　 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．不都是零
解析：xy≠0是指“x≠0，且y≠0”．
答案：A
2．若命题p：x∈A∩B，则綈p为(　　)
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
解析：“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故綈p：x?A或x?B.
答案：B
3．(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
答案：B
4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则p∧q是________，p∨q是________，綈p是________．
解析：p∧q：6是12和24的约数；
p∨q：6是12或24的约数；
綈p：6不是12的约数．
答案：6是12和24的约数　6是12或24的约数　6不是12的约数
5．命题p：0不是自然数，命题q：是无理数，则在命题“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命题是________，假命题是____________．
解析：显然p为假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，“非p”为真命题，“非q”为假命题．
答案：p或q, 非p　p且q，非q
6．对命题p：1是集合{x|x2解：若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x24.
若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1；
若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.
一、选择题
1．“p∨q为假命题”是“綈p为真命题”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故p∨q为假命题?綈p为真命题，但綈p为真命题 p∨q为假命题．
答案：A
2．已知p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题p∧q为真命题的一个点P(x，y)是(　　)
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
解析：因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题，即点P为直线y＝2x－3与y＝－3x＋2的交点，
故有解得故选C.
答案：C
3．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是(　　)
A.?A B.∈(?UA)∩(?UB)
C.∈?UB D.?(A∩B)
解析：由p：∈(A∪B)，可知綈p：?(A∪B)，
即∈?U(A∪B)，而?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
答案：B
4．下列各组命题中，满足“p或q”为真，且“非p”为真的是(　　)
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条
解析：A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故“非p”为假，排除D.故选C.
答案：C
二、填空题
5．命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________.
解析：否定形式：若abc＝0，则a，b，c全不为零．
否命题：若abc≠0，则a，b，c全不为零．
答案：若abc＝0，则a，b，c全不为零　若abc≠0，则a，b，c全不为零
6．已知命题p：x≤1，命题q：＜1，则綈p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)．
解析：p：x≤1?綈p：x＞1?＜1，但＜1 x＞1.
∴綈p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．
解析：因命题p，q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题．
答案：綈p
8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分而不必要条件，可知綈p?綈q，但綈q 綈p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p，但pq，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}??{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
9．写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线一定相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：N?Z，q：0∈N.
解：(1)因为p假q真，所以p或q：1是质数或1是方程x2＋2x－3＝0的根，为真命题；p且q：1是质数且1是方程x2＋2x－3＝0的根，为假命题；非p：1不是质数，为真命题．
(2)因为p假q假，所以p或q：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p且q：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非p：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题．
(3)因为p真q真，所以p或q：N?Z或0∈N，为真命题；p且q：N?Z且0∈N，为真命题；非p：NZ，为假命题．
10．设命题p：函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0(a>0，且a≠1)的解集只有一个子集．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：当命题p是真命题时，应有a>1.
当命题q是真命题时，
关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，
所以Δ＝4－4loga<0，解得1由于p∨q为真，则p和q中至少有一个为真，
又p∧q为假，则p和q中至少有一个为假，
所以p和q中一真一假，
当p假q真时，有
不存在符合条件的实数a；
当p真q假时，有解得a≥，
综上所述，实数a的取值范围是.