2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 章末小结

1．命题的概念及真假命题的判断
(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成．命题分为真命题和假命题．
(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)．
(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题．
3．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．
(2)判断方法：①定义法：分别寻找“p?q”“q?p”“p] q”“q p”中哪两个成立．
②命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假．
③集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“A?B”“B?A”“A＝B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件．
4．逻辑联结词
命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或q?P∪Q；p且q?P∩Q，非p??UP.
5．全称量词和存在量词
(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．
(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题．而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断．
命题及其关系
[例1]　给出下列命题．
①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4.
②函数y＝tan的图象关于点成中心对称．
③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．
④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)
[解析]　①∵|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，
∴cos〈a·b〉＝－.
∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确．
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tan x的图象的性质知，②正确．
③∵原命题的逆命题为“若a⊥b，则a·b＝0”为真，
∴其否命题也为真．∴③正确．
④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．
(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)
∴④正确．
[答案]　①②③④
判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．
1．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若a>b，则3a>3b”的逆命题
B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题
D．命题“若a>b，则<”的逆否命题
解析：对于A，逆命题是“若3a>3b，则a>b”，是真命题；对于B，否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1?x>1或x<－1；对于C，否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题，因为当x＝0时，x2－x＝0；对于D，逆否命题是“若≥，则a≤b”，是假命题，如a＝1，b＝－1.故选A.
答案：A
2．下列说法中错误的个数是(　　)
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”
②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
答案：C
充分条件、必要条件与充要条件
[例2]　(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5.
(2)法一：由<，得0<θ<，
故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二：<?0<θ<?sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
[答案]　(1)C　(2)A
本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．
[例3]　已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解]　p：x2－8x－20＞0?x＜－2或x＞10，
∵a＞0，
∴q：x＜1－a或x＞1＋a.
由题意p?q且pq，
应有或?0∴正实数a的取值范围为(0,3]．
将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．
3．“a>b>0”是“ab<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由基本不等式知当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，其中当a＝b时，等号成立．∴当a>b>0时，ab<，反之不成立．
答案：A
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．
答案：B
逻辑联结词
[例4]　已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
[解]　p真：Δ＝a2－4×4≥0，
∴a≤－4或a≥4.
q真：－≤3，
∴a≥－12.
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p，q两命题一真一假．
当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4.
综上，a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．
先求出命题p，q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．
5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真或p真q假，
即或∴1∴a的取值范围为(1,2].
全称量词和存在量词
[例5]　在下列四个命题中，真命题的个数是(　　)
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④?x，y∈Z，使3x－2y＝10.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　①中x2＋x＋3＝2＋≥＞0，
故①是真命题．
②中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②是真命题．
③中α＝，β＝－时，
sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．
④中x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故④是真命题．
[答案]　D
利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．
6．命题“?n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
B．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
C．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
D．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
解析：写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
答案：D
7．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，
则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，所以a≤1.
命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真，
则“4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，
则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
答案：(－∞，－2]∪{1}
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“<”的否定是“≥”．故选D.
答案：D
2．命题“若x＝－1，则 x2＋3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．
又它的逆命题是：若x2＋3x＋2＝0，
则x＝－1，是假命题，
∴它的否命题也是假命题.
答案：B
3．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真　　　 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
解析：①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
答案：D
4．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p：?x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则(　　)
A．p是真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)<0
B．p是真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
C．p是假命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)<0
D．p是假命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
解析：由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，所以p为真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0，故选B.
答案：B
5．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
答案：B
6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要条件．
答案：A
7．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“＋＝2”的(　　)
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a，b，c成等差数列时，
若b＝0，则＋＝2不成立，
反之当＋＝2，即＝2，
即a＋c＝2b时，b－a＝c－b，
所以a，b，c成等差数列．
答案：A
8．下列命题是真命题的是(　　)
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：D中，x＝2时，(x－2)(x－1)＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．
答案：D
9．命题甲：x,21－x,2x2成等比数列，命题乙：lg x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x,21－x,2x2成等比数列可得x＝－2或x＝1，由lg x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列可得x＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．
答案：B
10．设x∈R，则“1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：|x－2|<1?1由于{x|1所以“1答案：A
11．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，8)
C．(－∞，3]∪(8，＋∞) D．[3,8)
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围为[3,8)．
答案：D
12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：∵p，q都是真命题，∴①②③④均正确．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题为________．
解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
14．若“?x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：∵?x∈R，x2－2x－m>0是真命题，
∴Δ＝(－2)2＋4m<0恒成立．
∴m<－1.
答案：(－∞，－1)
15．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：当命题p为真时，由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1；当命题q为真时，可知a≤x≤a＋1，又綈p是綈q的必要不充分条件等价于p是q的充分不必要条件，所以? [a，a＋1]，a∈.
答案：
16．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)
解析：对①，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，即b≤0，∴b≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p∨q假时，p，q一定均假，∴④正确．故①③④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：3是素数，q：3是偶数；
(2)p：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．
解：(1)p或q：3是素数或3是偶数；
p且q：3是素数且3是偶数；
非p：3不是素数．
因为p真，q假，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题．
(2)p或q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解或x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
p且q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解且x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
非p：x＝－2不是方程x2＋x－2＝0的解．
因为p真，q真，所以“p或q”为真命题，“p且q”为真命题，“非p”为假命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈，2上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈，2时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在，2上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈0，∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k.
(1)求直线l1∥l2的充要条件；
(2)当x∈[－1,2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
解：(1)由题意得解得k＝2.
当k＝2时，l1：y＝x＋1，l2：y＝x－2，此时l1∥l2.
∴直线l1∥l2的充要条件为k＝2.
(2)设f(x)＝x＋1.由题意，得
即解得－1∴k的取值范围是(－1,2)．
21．(本小题满分12分)已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，求a的取值范围．
解：由y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0∵曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝(2a－3)2－4×1×1>0，解得a<或a>.
∴p真对应集合A＝{a|0q真对应集合B＝.
由于p∨q真，即p，q中至少有一个为真命题．
p真q假时，≤a<1；
p假q真时，a>或a≤0；
q真q真时，0综上得，a的取值范围为(－∞，1)∪.
22．(本小题满分12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈（，1）.
综上①②③可得a∈（，＋∞）.