2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第1章 1．2.2　全称量词和存在量词

1．2.2　全称量词和存在量词
[读教材·填要点]
1．全称量词与存在量词
(1)全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“?”表示．
(2)存在量词：“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“?”表示．
2．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定
(1)命题“?x∈I, p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”；
(2)命题“?x∈I，p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”．
[小问题·大思维]
1．命题p：任何一个实数除以1等于这个数；q：等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？
提示：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”．
2．下列命题使用了什么量词？
p：存在实数x，使x2－3>0；
q：有的实数既不是质数也不是合数．
提示：命题p使用存在量词“存在”，命题q使用存在量词“有的”．
3．如何用符号表示下列命题？
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在实数x，使得＝2.
提示：(1)用符号表示为“?α∈R，sin2α＋cos2α＝1”．
(2)用符号表示为“?x∈R，＝2”．
用“?”或“?”表述命题
将下列命题用量词符号“?”或“?”表示，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)整数中1最小；
(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；
(4)对于某些实数x，有2x＋1＞0.
[自主解答]　(1)?x∈R，x2≥0；真．
(2)?x∈Z，x≥1；假．
(3)?x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)；真．
(4)?x∈R，有2x＋1＞0；真．
同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：
命题
含全称量词的命题“?x∈A，p(x)”
含存在量词的命题“?x∈A，p(x)”
表述方法
①所有的x∈A，
p(x)成立
②对一切x∈A，
p(x) 成立
③对每一个x∈A，
p(x)成立
④任意一个x∈A，
p(x)成立
⑤凡x∈A，都有
p(x)成立
使p(x)成立
①存在x∈A，
②至少有一个x∈A，使p(x)成立
③对有些x∈A，
p(x)成立
④对某个x∈A，
p(x)成立
⑤有一个x∈A，
使p(x)成立
1．用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
含全称量词或存在量词的命题的真假判断
(1)下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，lg x＝0
B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x2>0
D．?x∈R，ex>0
(2)下列命题中的真命题是(　　)
A．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β
C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2
D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
[自主解答]　(1)对于A，x＝1时，lg x＝0；
对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tan x＝1；
对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；
对于D，ex>0恒成立．
(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，为偶函数，故A为假命题；
对于B，令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B为真命题；
对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；
对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．
[答案]　(1)C　(2)B
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
2．判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假．
(1)一次函数都是单调函数；
(2)至少有一个实数x，使x2＝0；
(3)?x∈Z，log4x>0；
(4)?x∈{x|x是无理数}，x4是无理数．
解：(1)命题中含有全称量词“都”，命题为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，当x＝0时，x2＝0，命题为真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“?”，当x＝4时，log4x＝1>0，命题为真命题．
(4)命题中含有全称量词的符号“?”，由于x＝时x4＝4是有理数．因此命题是假命题．
含有量词的命题的否定
(1)设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A．?n∈N，n2>2n　　　　 B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
(2)(2016·浙江高考)命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
[自主解答]　(1)因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．
[答案]　(1)C　(2)D
(1)“?x∈M，p(x)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”．
(2)有些命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
(3)命题“?x∈M，p(x)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”．
(4)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题中的量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．
3．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有些三角形的三条边相等；
(3)p：余弦值为负数的角是钝角；
(4)p：存在一个实数，使得3x<0.
解：(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故为假命题．
(2)由于存在量词“有些……”的否定的表述为“所有……，”因此，原命题的否定为：“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
(3)原命题的否定为：“有的余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
(4)原命题的否定为“对于所有实数x，都满足3x≥0”，真命题.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2＋2x＋1>0；
(2)?x∈R，|x|≤0；
(3)?x∈N＋，log2x>0；
(4)?x∈R，cos x＝.
[巧思]　根据命题中所含量词的含义，可举特例判断．
[妙解]　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，
∴原命题是真命题．
(3)∵当x＝1时，log2x＝0，
∴原命题是假命题．
(4)∵当x∈R时，cos x∈[－1,1]，
而>1，
∴不存在x∈R，
使cos x＝.
∴原命题是假命题．
1．下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
解析：选项C是全称命题．
答案：C
2．下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，lg x＝0　　　 B．?x∈R，cos x＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0
解析：选项A，lg x＝0?x＝1；选项B，cos x＝1?x＝2kπ(k∈Z)；选项C；x3＞0?x＞0；选项D,2x＞0?x∈R.
答案：C
3．设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
解析：因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故选C.
答案：C
4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
5．给出下列命题．
①?x∈R，x2＋2＞0；
②?x∈N，x4≥1；
③?x∈Z，x3＜1.
其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：①由于?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.
所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．
所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3＜1成立．
所以命题“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
答案：①③
6．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)非负数的平方是正数．
(2)有的四边形没有外接圆．
解：(1)命题的否定：
“存在一个非负数的平方不是正数．”
因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．
(2)命题的否定：
“所有四边形都有外接圆．”
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
一、选择题
1．命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R,2x>0　　 B．存在x∈R,2x≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0
解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．
答案：D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.
答案：D
3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1,1) D．(－1,1]
解析：当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
答案：A
4．下列四个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，x<x；
p2：?x∈(0,1)，logx> logx；
p3：?x∈(0，＋∞)，x>logx；
p4：?x∈，x其中的真命题是(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：对于命题p1，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，所以p1是假命题，排除A、B，对于命题p3，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x与函数y＝logx的图象(图略)，可知在(0，＋∞)上，函数y＝x的图象并不是始终在函数y＝logx的图象上方，所以p3是假命题，排除C.
答案：D
二、填空题
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________________________________________________________________________．　　　
解析：命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”为特称命题，用“?”表示为：?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0.
答案：?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为：________.
解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，其否定为“有的向量与零向量不共线”．
答案：有的向量与零向量不共线
7．下列命题是真命题的有________．
(1)?x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；
(2)?x∈R，x2－6x－5＝0；
(3)?x∈R，|x＋1|＞0.
解析：(1)∵5×1＋2＝7,5×3＋2＝17，
5×5＋2＝27，均为奇数，∴是真命题．
(2)∵x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，
∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题．
(3)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
答案：(1)(2)
8．若命题“?x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则a的取值范围是________．
解析：“?x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，
当a＝0时，－2≤0.符合题意．
当a≠0时，要满足?x∈R，ax2－ax－2≤0，
需有即解得－8≤a<0，
综上，a的取值范围是[－8,0]．
答案：[－8,0]
三、解答题
9．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1)?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使?x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴∴故实数a的取值范围为.