2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 2．1.1　椭圆的定义与标准方程

2．1椭__圆
2．1.1　椭圆的定义与标准方程
[读教材·填要点]
1．椭圆的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a＞b＞0)
＋＝1
(a＞b＞0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[小问题·大思维]
1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的定值，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆x2＋＝1的焦点坐标是什么？
提示：∵x2＋＝1，
∴a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，∴c＝1.
∴焦点坐标为(0，±1)．
椭圆的定义
已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长．
[自主解答]　如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
椭圆上的点到两定点F1，F2的距离的和为定值，所以知道椭圆上点到一个焦点的距离就可以利用|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|求出该点到另一个焦点的距离．
1．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，求线段ON的长．
解：由椭圆方程＋＝1，得a＝5.
设椭圆的另一个焦点为F′，
则|MF|＋|MF′|＝10，∴|MF′|＝10－|MF|＝8.
∵N为MF的中点，O为FF′的中点，
∴ON＝|MF′|＝4.
求椭圆的标准方程(已知焦点位置)
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到离它较近的一个焦点的距离等于2.
[自主解答]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴2a＝＋＝10.
∴a＝5.
又∵c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到离它较近的一焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，
故c＝8.
∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
求椭圆标准方程的一般步骤为：
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)a＝5，c＝2，焦点在y轴上；
(2)经过定点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
解：(1)∵a＝5，c＝2，∴b2＝a2－c2＝25－4＝21.
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由9x2＋4y2＝36，得＋＝1.
∴椭圆的焦点坐标为(0，±)．
设椭圆标准方程为＋＝1，
∴＋＝1.又a2－b2＝5.∴a2＝15，b2＝10.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
求椭圆的标准方程(焦点位置不确定)
求经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程．
[自主解答]　法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
在求椭圆的标准方程时，若椭圆焦点的位置未确定，可分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.
3．若椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)，求椭圆的标准方程．
解：①若椭圆的焦点在x轴上，
设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵c＝1，
∴解得
∴椭圆方程为＋＝1.
②若椭圆的焦点在y轴上，
设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
综合①②可得，椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点Q(2,1)且与椭圆＋＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．
[解]　法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，
由＋＝1?c2＝5，∴a2－b2＝5.①
又Q(2,1)在椭圆上，则＋＝1.②
由①②解得：a2＝＋5，b2＝，
即所求的方程是＋＝1.
法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：
＋＝1(k>－4)．
则＋＝1，
整理得：k2＋8k＋11＝0，解得k＝－4±，
又∵k>－4，
∴k＝－4＋，
故所求的椭圆的标准方程是＋＝1.
[点评]　利用点Q(2,1)在椭圆上，以及a，b，c之间的关系求得a，b的值，从而求得椭圆的标准方程．
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.
答案：B
2．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，
∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m＞0，故m＝3.
答案：B
3．满足条件a＝13，c＝5的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D．不确定
解析：∵a＝13，c＝5，
∴b2＝a2－c2＝132－52＝144.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案：C
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10，且a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，m＝8.
答案：8
5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：∵方程＋＝1表示椭圆，
∴
即
∴3答案：(3,4)∪(4,5)
6．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．
解：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
一、选择题
1．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．16　　　　　　　　 B．18
C．20 D．不确定
解析：|F1F2|＝2c＝2＝8，
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
∴△PF1F2的周长为18.
答案：B
2．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：m>n>0?>>0?方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆；反之，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m>n>0.
答案：C
3．已知椭圆＋y2＝1上一点P的横坐标为－，则点P的坐标为(　　)
A.
B.或
C.
D.或
解析：依题意知点P的横坐标为－，代入椭圆方程得＋y2＝1，y＝±，从而点P的坐标为或.
答案：B
4．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：B
二、填空题
5．椭圆25x2＋16y2＝400的焦点坐标为________．
解析：由25x2＋16y2＝400，
得＋＝1.
∴a2＝25，b2＝16，c2＝a2－b2＝9.
又∵焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．
答案：(0,3)，(0，－3)
6．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝6，则椭圆的标准方程为________．
解析：∵椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，
∴c＝1.
又∵2a＝6，即a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为________．
解析：由题意知0答案：(0,4)∪(－4,0)
8.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，则椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆的定义得，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，
故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2.
即c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
三、解答题
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过点和，
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，
且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴＋＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.