2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 2．1.2　椭圆的简单几何性质

2．1.2　椭圆的简单几何性质
第一课时　椭圆的简单几何性质
[读教材·填要点]
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系
(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；
(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．
[小问题·大思维]
1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？
提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，
得a＝5，b＝3，则c＝＝4.
因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.
离心率e＝＝＝0.8.
焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)，
顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
2．如何用a，b表示离心率？
提示：由e＝得e2＝＝，
∴e＝ .
∴e＝.
3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？
提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c.
由椭圆方程研究简单几何性质
求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[自主解答]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
由椭圆的简单几何性质求方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e＝；
(2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．
[自主解答]　(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
因为a＝3，e＝，
所以c＝.从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，
所以＝.所以a2＝27.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．
2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0), ∴＝1，a＝2.
∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1.
∴b＝2,2a＝2·2b.
∴a＝4.
∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知∴
从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A.　　 B.　　　　C.　　　　D.
[自主解答]　法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
[答案]　D
若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解：由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>.故C的离心率的取值范围为.
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝ 求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
3．已知椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的端点B构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
解：如图，|F1F2|＝2c，
∵|BF1|＋|BF2|＝2a，且△BF1F2为等腰直角三角形．
∴|BF1|＝|BF2|＝a＝c.
∴离心率e＝＝.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆的离心率的取值范围．
[巧思]　由∠APO＝90°可知：点P(x，y)在以OA为直径的圆上，且P点又在椭圆上．
然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P点的横坐标．利用0[妙解]　设P(x，y)，由∠APO＝90°知：P点在以OA为直径的圆上．
圆的方程是：2＋y2＝2?y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②得：
＋＝1?(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，
x≠a，x≠0?x＝.又0∴0<.
又∵0故所求的椭圆离心率的取值范围是.

1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0)　　　　　　　　 B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则c＝ ＝.
答案：D
2．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8.
∴e2＝＝.∴e＝.
答案：D
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m等于(　　)
A. B．2
C．4 D.
解析：由条件可知＝2，解得m＝.
答案：D
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.∴e＝＝.
答案：
5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程为＋＝1，
∴a2＝2m＋1，b2＝m.
∴c＝＝.
由e＝，得 ＝，解得m＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
∴a＝，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－，0)，A2(，0)，B1，B2.
一、选择题
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A．C1与C2顶点相同　　　 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
答案：D
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2　　　　　　　 B．5,4
C．5,1 D．9,1
解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
答案：D
3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵＝，且c＝，
∴a＝，b＝＝1.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
答案：A
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
答案：A
二、填空题
5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.
答案：4,3
6．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF＝90°，则椭圆的离心离为________．
解析：由已知|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
∴(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2.
∴a2＋b2＝2ac＋c2.
又b2＝a2－c2，
∴c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0.
∴e＝.
答案：
7．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．
解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a和2b的菱形，因此其面积为S＝·2a·2b＝2ab＝40，
∴ab＝20.又c＝3，且a2－b2＝c2.
∴a2－＝9，a4－9a2－400＝0.
∴a2＝25或a2＝－16(舍去)．
∴a＝5，b＝4，所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由椭圆＋＝1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
解：e＝＝＝，∴＝.
∴a2＝3b2，即a＝b.
过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1，
把a＝b代入，即x－y－b＝0.
又由点到直线的距离公式得
＝，解得b＝1，∴a＝.
∴所求方程为＋y2＝1.
10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则
F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)．
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.
∵PF2∥AB，且kPF＝＝，
又kAB＝－，∴由kPF ＝kAB，得－＝－.
∴b＝2c.∴a＝＝c.
∴e＝＝，即椭圆离心率为.
第二课时　直线与椭圆的位置关系
[读教材·填要点]
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得一个一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
[小问题·大思维]
1．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是什么？
提示：∵点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，
∴＋<1，解得－即a的取值范围为(－，)．
2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？
提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．
3．直线(1)y＝x＋1；(2)y＝x＋；(3)y＝x＋2分别与椭圆＋y2＝1各有什么样的位置关系？
提示：(1)由得3x2＋4x＝0.
∵Δ＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．
(2)由得3x2＋4x＋4＝0.
∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0，
∴直线与椭圆相切．
(3)由得3x2＋8x＋6＝0.
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，
∴直线与椭圆相离．
直线与椭圆位置关系
对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[自主解答]　由
消去y，得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，
记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0.
1．k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
解：由消去y，得2x2＋3(kx＋2)2＝6，
即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
当Δ＝72k2－48>0，即k<－或k>时，
直线和曲线有两个公共点．
当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，
直线和曲线有一个公共点．
当Δ＝72k2－48<0时，即－直线和曲线没有公共点．
弦长问题
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
[自主解答]　∵a2＝4，b2＝1，
∴c＝＝.∴右焦点F(，0)．
∴直线l方程为y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝＝.
即弦AB的长为.
当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.
(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴|AB|＝，
＝＝ ·
＝·.
其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程求得．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为.求椭圆方程．
解：∵a＝2b，且焦点在x轴上，
∴设椭圆方程为＋＝1.
联立得5x2＋16x＋16－4b2＝0，
∴
∴|AB|＝
＝·|x1－x2|
＝· 
＝·＝.
∴5b2－4＝16.
∴b2＝4，即b＝2.
∴a＝2b＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
中点弦问题
已知椭圆＋y2＝1，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程．
[自主解答]　法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋－k.
由
得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－＝1，
解得k＝－.
∴直线方程为2x＋4y－3＝0.
法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，
则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
由得y－y＝－(x－x)，
∴＝－·＝－，
即k＝－，
∴直线方程为y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4.
又e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5.
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋m，若椭圆上总有两点P，Q关于直线l对称，求m的取值范围．
[妙解]　法一：(根与系数的关系)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y＝4x＋m对称的两个点，则kPQ＝－.
设PQ所在直线方程为y＝－＋b.
由消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.
∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)>0.
解得b2<.①
x1＋x2＝，x1x2＝.
设PQ中点为M(x，y)，则有
x＝＝，y＝－·＋b＝.
∵点M在直线y＝4x＋m上，
∴＝4·＋m.∴b＝－m.②
把②代入①，得：2<，
解得－故m的取值范围为.
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两点，
M(x，y)是PQ的中点．
则有两式相减，得
3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴＝－＝－kPQ.
∵kPQ＝－，
∴y＝3x.
由解得
∴M(－m，－3m)．
∵点M应在椭圆C的内部，
∴＋<1.
解得－故m的取值范围为.
[点评]　P，Q关于直线l对称包括两层含义：①P，Q的中点在直线l上；②直线PQ与直线l垂直．
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1
得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0，
∴直线与椭圆相离．
答案：C
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
答案：C
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
若5＞m，则≥1，
若5＜m，则必有公共点，
∴m≥1且m≠5.
答案：D
4．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
解析：由＋＝1得－2≤y≤2，
∴－2答案：(－2,2)
5．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
解析：由得交点坐标(0,1)，，
则|AB|＝ ＝.
答案：
6．过点P(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
解：设直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x，y)，则

由①－②得＝－·＝－·.
又∵直线l的斜率为kPM＝，
∴＝－.
整理得x2＋2y2－2x－2y＝0.
∴直线l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为
x2＋2y2－2x－2y＝0.
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
答案：B
2．已知椭圆x2＋＝a2(a＞0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
解析：分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋＞a2，解得0＜a＜；(2)B点在椭圆内，16＋＜a2，解得a＞.
答案：B
3．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则·＝(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：椭圆右焦点为(1,0)，
设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2.
把y＝x－1代入＋y2＝1得，3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴·＝－.
答案：B
4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵点A，B在椭圆上，
∴＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0.③
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
答案：B
二、填空题
5．已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上两点，且＝λ，则λ＝________.
解析：由＝λ知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.
答案：－1
6．若直线y＝x＋m与椭圆4x2＋y2＝1有公共点，则实数m的取值范围为________．
解析：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
答案：
7．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
8．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P，若PF2恰好与圆F1相切，则该椭圆的离心率为________．
解析：由已知圆F1的半径r＝c，即|PF1|＝c，
又PF2与圆F1相切，所以PF2⊥PF1，
∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c.
∴|PF1|＋|PF2|＝(1＋)c＝2a.
∴e＝＝＝－1.
答案：－1
三、解答题
9．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，
解得－所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.