2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 2．2.1　双曲线的定义与标准方程

2.2双__曲__线
2．2.1　双曲线的定义与标准方程
[读教材·填要点]
1．双曲线的定义
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[小问题·大思维]
1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F1F2|？若定值等于|F1F2|或等于0或大于|F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？
提示：(1)如果定义中定值改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
(3)如果定义中定值改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？
提示：不是．是双曲线的一支．
3．若方程－＝1表示双曲线，m，n应满足什么条件？
提示：若方程－＝1表示双曲线，则m·n>0.
双曲线定义的应用
在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足sin B－sin A＝sin C，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．
[自主解答]　如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin A＝，
sin B＝，sin C＝.
∵sin B－sin A＝sin C，
∴b－a＝.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．
解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：
(1)差的绝对值是定值，
(2)常数大于0小于两定点间的距离．
同时具备这两个条件才是双曲线．
1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
解：因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[自主解答]　(1)∵焦点在x 轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1.
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
(2)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线过P，Q，
∴解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
解：(1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线的定义及标准方程的应用
设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)
A．6　　　　　　　　 B．12
C．12 D．24
[自主解答]　如图所示，∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
[答案]　B
在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．
若本例中的|PF1|∶|PF2|＝3∶2改为1·2＝0，求△PF1F2的面积．
解：由题意1·2＝0，则PF1⊥PF2，
∴△PF1F2为直角三角形．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4(1＋12)＝52，
∴4＋2|PF1|·|PF2|＝52，
∴|PF1|·|PF2|＝24，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝12.
3．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，求点P的坐标．
解：由双曲线的方程知：a＝3，b＝4，c＝5，不妨设点P在第一象限，坐标为(x，y)，F1为左焦点，那么：

由①得：(|PF1|－|PF2|)2＝36.
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36.
∴|PF1||PF2|＝32.
在直角三角形PF1F2中，
|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·y＝32，
所以y＝，代入双曲线的方程得：x＝，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，，
.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
[解]　法一：∵椭圆的焦点在y轴上，
由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，
于是有
解得
所以双曲线方程为－＝1.
法二：将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝
|－|
＝4，a＝2，
b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线方程为－＝1.
法三：由题意设双曲线方程为
＋＝1(27＜λ＜36)，
将A(±，4)代入得＋＝1.
解得λ＝32或λ＝0(舍去)．
∴所求双曲线的方程为－＝1.
1．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．9
C．5 D．3
解析：由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．
答案：B
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝.
∴c＝＝，故右焦点坐标为.
答案：C
3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3)
C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3)
解析：由题意，得c＝5，a＝3，∴b＝4，
∴P点的轨迹方程是－＝1(x≥3)．
答案：D
4．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
解析：由题意知，(1＋k)(1－k)>0，即－1答案：(－1,1)
5．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．
解析：由8kx2－ky2＝8，得－＝1.
又∵焦点在y轴上，∴a2＝－，b2＝－.
∵c＝3，由c2＝a2＋b2得9＝－－，∴k＝－1.
答案：－1
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝5，c＝7；
(2)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P.
解：(1)由题设知a＝5，c＝7，则b2＝c2－a2＝24.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程是－＝1 或－＝1.
(2)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5，0)，
所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||＝
＝8，
即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距是(　　)
A．4　　　　　　　　 B．2
C．8 D．与m有关
解析：c2＝m2＋12＋4－m2＝16，
∴c＝4,2c＝8.
答案：C
2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2答案：A
3．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A. B.
C. D．2
解析：因为动点P满足|PF2|－|PF1|＝2为定值，又2<2，所以P点的轨迹为双曲线的一支．因为2a＝2，所以a＝1.又因为c＝，所以b2＝c2－a2＝1.所以P点轨迹为x2－y2＝1的一支．当y＝时，x2＝1＋y2＝，则P点到原点的距离为|PO|＝＝ ＝.
答案：A
4．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F1的面积等于(　　)
A．24 B．36
C．48 D．96
解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于×16× ＝48.
答案：C
二、填空题
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)和F2(3,0)，且P在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________．
解析：法一：利用双曲线定义．
2a＝|PF1|－|PF2|＝ － 
＝－＝2，
∴a＝，b2＝c2－a2＝4.
故所求方程为－＝1.
法二：待定系数法．
设双曲线方程为－＝1，
则有－＝1，
∴4a4－65a2＋225＝0.
∴a2＝5或a2＝>9(舍去)．
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设右焦点为F1，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，
∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|
＝|PF1|＋|PA|＋4
≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
答案：9
三、解答题
9．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．
解：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
∴即
∴m＞5.
即m的取值范围是(5，＋∞)．
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意得解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得cos∠MF2F1
＝
＝＝－<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．