2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 2．3.1　抛物线的定义与标准方程

2．3抛__物__线
2．3.1　抛物线的定义与标准方程
[读教材·填要点]
1．抛物线的定义
平面上到一定点F和定直线l(F?l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
图象
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)

x＝－
y2＝－2px(p＞0)

x＝
x2＝2py(p＞0)

y＝－
x2＝－2py(p＞0)

y＝
[小问题·大思维]
1．在抛物线定义中，若去掉条件“F?l”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？
提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.
3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？
提示：由焦点在x轴正半轴上，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
其焦点坐标为，
则＝2，故p＝4.
所以抛物线的标准方程是y2＝8x.
求抛物线的标准方程
求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[自主解答]　(1)当抛物线的焦点在x轴上时，
可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，
把点(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，∴p＝.
∴所求抛物线方程为y2＝－x.
当抛物线的焦点在y轴上时，
可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，
∴p＝.
∴所求抛物线方程为x2＝y.
综上，所求抛物线的方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，
与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
∵＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x，
当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
∵－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y，
综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？
解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点是(4,0)，与y轴的交点是(0，－2)，
则抛物线的准线方程为x＝4或y＝－2.
当准线方程为x＝4时，可设方程为y2＝－2px，
则＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝－16x.
当准线方程为y＝－2时，可设方程为x2＝2py，
则＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝8y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝－16x或x2＝8y.
求抛物线标准方程的方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
1．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
答案：2　x＝－1
2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．
由抛物线的定义得|AF|＝＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程
根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－4x；(2)2y2－x＝0.
[自主解答]　(1)∵y2＝－4x，∴抛物线的焦点在x轴的负半轴上，
又2p＝4，∴p＝2.
∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x＝1.
(2)由2y2－x＝0，得y2＝x.
∴抛物线的焦点在x轴的正半轴上，
又2p＝，∴p＝
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.
此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．
步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p值；④写焦点坐标和准线方程．
3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y＝－x2；(2)x2＝ay(a≠0)．
解：(1)将抛物线方程y＝－x2变形为x2＝－8y，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝8，所以p＝4.
所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y＝2.
(2)当a>0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，又2p＝a，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－；
当a<0时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝－a，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.
综上，抛物线焦点坐标为，准线方程为y＝－.
抛物线定义的应用
已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
[自主解答]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)，和抛物线的焦点三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝ ＝.
本例中若将点(0,2)改为点A(3,2)，F为抛物线的焦点，求|PA|＋|PF|的最小值．
解：将x＝3代入y2＝2x，
∴y＝±.
∴A在抛物线内部．设P为其上一点，P到准线(设为l)x＝－的距离为d.则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.
即|PA|＋|PF|的最小值是.
解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系，点与直线的连线中垂线段最短等．
4．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
解：∵(－2)2＜4×8，
∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y内部．如图，抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B，
由抛物线的定义可知
|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，
当且仅当A，P，Q三点共线时，
|PF|＋|PA|的值最小，最小值为|AB|，
∵A(－2,4)，
∴|PF|＋|PA|最小时点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故当点P的坐标为时，|PF|＋|PA|的值最小．
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
[解]　法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
则焦点坐标为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，
准线方程为y＝2.
法二：如图所示，设抛物线方程为
x2＝－2py(p＞0)，
则焦点F，准线l：y＝，
又|MF|＝5，
由定义知3＋＝5，
∴p＝4.
∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±2.
[点评]　抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时， 应设法建立参数p的关系式．还要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．
1．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝20x　　　　　　　 B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
解析：由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
答案：B
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．10
解析：由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
答案：C
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：显然由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：C
4．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________.
解析：由x2＋y2－6x－7＝0，得(x－3)2＋y2＝16，
∴x＝－＝－1，即p＝2.
答案：2
5．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
解析：由双曲线方程－＝1，
可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，
∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)．
∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
6．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
解：由抛物线定义，设焦点为F.
则准线为x＝，M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10.则－(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
一、选择题
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．6
C. D.
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
答案：C
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2.∴p＝4.
答案：D
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由于＝ ＝ ＝2，所以＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
答案：D
二、填空题
5．若抛物线y2＝8x上的一点P到其焦点的距离为10，则P点的坐标为________．
解析：设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8.故P点坐标为(8，±8)．
答案：(8，±8)
6．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点________．
解析：动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
7．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．
解析：如图，过点Q作QA垂直准线l，垂足为A，则QA与抛物线的交点即为P点．
易求P.
答案：
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析：如图，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.
又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF为等边三角形．
由|HF|＝4得|AF|＝8，∴|PF|＝8.
答案：8
三、解答题
9．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．
解：由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py，(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
把P(－2，－4)代入x2＝－2py或y2＝－2px得
p＝或p＝4，
故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x.
当抛物线方程是x2＝－y时，
焦点坐标是F，准线方程是y＝.
当抛物线方程是y2＝－8x时，
焦点坐标是F(－2,0)，准线方程是x＝2.
10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，　
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.