2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 章末小结

1．圆锥曲线的标准方程
求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．
2．椭圆、双曲线的离心率
求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．
(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．
4．求曲线的方程
求曲线方程的常用方法有：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
曲线方程的求法
[例1]　设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
[解]　法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，
即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，
即OA中点B的轨迹方程为2＋y2＝(去掉原点)．
法二(几何法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M，
如法一中图，则|MB|＝|OC|＝，
故B点的轨迹方程为
2＋y2＝(去掉原点)．
法三(代入法)：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，
由题意得即
又因为(x1－1)2＋y＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.
即2＋y2＝(去掉原点)．
法四(交点法)：设直线OA的方程为y＝kx，
当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为：
y＝－(x－1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2＋x(x－1)＝0，
即2＋y2＝(x≠0,1)，
显然B(1,0)满足2＋y2＝，
故2＋y2＝(去掉原点)为所求．
(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．
(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．
1．求与圆x2＋y2＝1外切，且和x轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．
解：设两圆的切点为A，
M的坐标为(x，y)，圆M与x轴相切于点N，
∴|AM|＝|MN|，
|MO|－1＝|MN|＝|y|.
∴－1＝|y|.
化简得：x2＝2|y|＋1.
∴动圆圆心M的轨迹方程为x2＝2|y|＋1.
2．已知定点A(4,0)和圆x2＋y2＝4上的动点B，点P分AB之比为AP∶PB＝2∶1，求点P的轨迹方程．
解：设点P的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，
由题意得＝2，
即(x－4，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴
即
代入圆的方程x2＋y2＝4，得2＋＝4，
即2＋y2＝.
∴所求轨迹方程为2＋y2＝.
圆锥曲线的定义及性质问题
[例2]　已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
[解]　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得
||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin 60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.②
由①②，得c2＝16，c＝4，
则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
答案：B
4．抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线定义：
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.
答案：A
直线与圆锥曲线的位置关系
[例3]　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[解]　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1，　①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1，　②
把②代入①得2m>m2，
解得0由②得k2＝>0，
解得m>，
故所求m的取值范围是.
讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．
5．设抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋k所得弦长|AB|＝3.
(1)求k的值；
(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋4(k－1)x＋k2＝0，
Δ＝16(k－1)2－16k2＞0，∴k＜.
又由根与系数的关系有x1＋x2＝1－k，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝·
＝·，
即＝3，∴k＝－4.
(2)设x轴上点P(x,0)，P到AB的距离为d，
则d＝＝，
S△PAB＝·3·＝39，
∴|2x－4|＝26，∴x＝15或x＝－11.
∴P点坐标为(15,0)或(－11,0).
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题
[例4]　(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
[解析]　(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．
(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．
6．设椭圆＋＝1上的动点P(x，y)，点A(a,0)(0＜a＜3)．若|AP|的最小值为1，求a的值．
解：|AP|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4
＝2－＋4.
因为＝1－，所以≤1,0≤|x|≤3.
(1)当0＜≤3，即0＜a≤时，
x＝，|AP|2取最小值4－＝1.
解得a＝.因为＞，所以a不存在．
(2)当＞3，即＜a＜3时，
x＝3，|AP|2取最小值2＋4－＝1.
解得a＝2或a＝4(舍)．
所以，当a＝2时，|AP|的最小值为1.
7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.
证明：如图所示．
∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为
F，
∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，
∴y1y2＝－p2，
∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
∴点C的坐标为，
故直线CO的斜率k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，
∴直线AC经过原点O.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.
答案：B
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C. D．(0,1)
解析：由x2＋ky2＝2，得＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴＞2，即0＜k＜1.
答案：D
3．若抛物线x2＝2ay的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，
∴＝－1，即a＝－2.
答案：A
4．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
答案：C
5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
答案：B
6．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为(　　)
A．(1,0) B．(2,2)
C．(3,2) D．(2,4)
解析：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y得(x－1)2＝4x，
即x2－6x＋1＝0.因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2.所以线段AB的中点坐标是(3,2)．
答案：C
7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|＝ .又＝(＋)，
∴E是PF的中点．∴|PF|＝2，|PM|＝a.
又|PF|－|PM|＝2a，∴2－a＝2a.
∴离心率e＝＝.
答案：A
8．已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，
由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，
即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.
因为||＝3，所以x＋y＝9，
即2＋(3y)2＝9，
化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
答案：A
9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝7，则△PF1F2最大内角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：由双曲线定义知|PF2|＝|PF1|±2a.
所以|PF2|＝13或|PF2|＝1又|F1F2|＝10，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，
cos∠PF1F2＝＝－.
答案：A
10．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)
A.
B．(，＋∞)
C.
D.∪(，＋∞)
解析：由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝，则a2＝，从而e∈∪(，＋∞)．
答案：D
11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案：B
12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＝|AB|＝6，则|F2B|＝________.
解析：由椭圆定义知|F1A|＋|F2A|＝|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，所以|F1A|＝10－|F2A|＝4，|F1B|＝|AB|－|F1A|＝2，故|F2B|＝10－|F1B|＝8.
答案：8
14．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
解析：设抛物线焦点为F，则|PM|＝|PF|－，
∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－.∴当且仅当A，P，F共线时|PA|＋|PF|取最小值为|AF|＝5，
∴|PA|＋|PM|最小值为.
答案：
15．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.
答案：15
16．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－，则动点P的轨迹方程为____________．
解析：∵x2－y2＝1，∴c＝.
设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a>0)，2a>2c＝2，
∴a>.
由余弦定理有
cos∠F1PF2＝
＝
＝－1，
∵|PF1||PF2|≤2＝a2，
∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，
|PF1||PF2|取得最大值a2.
此时cos∠F1PF2取得最小值－1.
由题意－1＝－，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝3－2＝1.
∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程．
解：∵＝2，故P为MN中点．
又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)，
故M在x轴的负方向上．
设N(x，y)，则M(－x,0)，P，(x>0)．
∴＝，＝.
∵⊥，∴·＝0，即－x＋＝0.
∴y2＝4x(x>0)是轨迹C的方程．
18．(本小题满分12分)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.
又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则两式相减，
得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2,1)为AB的中点，所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，
即kAB＝＝6.
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，
即6x－y－11＝0.
19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据a2－b2＝c2及题设知M，＝，得2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及a2－b2＝c2代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
所以p＝2.
故所求抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
设其方程为y＝－2x＋t，
由消去x，得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与l的距离d＝可得＝，
解得t＝±1.
因为－1?，1∈，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
22．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ ，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.