2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第3章 3．2 空间向量的坐标

3．2空间向量的坐标
[读教材·填要点]
1．定理1
设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
2．定理2(空间向量基本定理)
设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
3．空间向量运算的坐标公式
(1) 向量的加减法：
(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，
(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．
(2)向量与实数的乘法：
a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．
(3)向量的数量积：
(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：
|v|＝.
(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：
cos α＝.
4．点的坐标与向量坐标
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离dAB为：
dAB＝.
(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．
[小问题·大思维]
1．空间向量的基是唯一的吗？
提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．
2．命题p：{a，b，c}为空间的一个基底；命题q：a，b，c是三个非零向量，则命题p是q的什么条件？
提示：p?q，但q p，即p是q的充分不必要条件．
3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？
提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．
4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？
提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
空间向量基本定理的应用
空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和.
[自主解答]　∵＝＋，
而＝，＝－.
∵D为BC的中点，
∴＝(＋)
∴＝＋
＝＋(－)
＝＋·(＋)－
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
而＝－，
又∵＝＝·(＋)＝(b＋c)
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
∴＝(a＋b＋c)；＝－a.
本例条件不变，若E为OA的中点，试用a，b，c表示和.
解：如图，＝－
＝－(＋)
＝a－b－c.
＝－
＝(＋＋)－
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
用基表示向量时：
(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
1.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
解：连接AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c.
空间向量的坐标运算
已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c.
(2)若ka＋b与ka－2b 互相垂直，求k.
[自主解答]　(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1，
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k为何值？
解：∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
设ka＋b＝λ(ka－2b)，则∴k＝0.
已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．
2．若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k的值：
(1)(ka＋b)∥(a－3b)；
(2)(ka＋b)⊥(a－3b)．
解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)
＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，
则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，
解得k＝.
点的坐标与向量坐标
在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
[自主解答]　(1)∵＝－＝－(＋)
＝－
＝－－－.
又||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
(2)∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4,2，－4)．
用坐标表示空间向量的方法步骤为：
3．如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
解：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
法一：∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，
∴＝.
法二：如图所示，连接AC，BD交于点O.
则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，
∴＝＝，
＝，
∴＝＋
＝＋
＝e2＋e3.
∴＝.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
[解]　法一：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－.
∵＝＝＝－，
＝－＝－＝，
连接AC，则＝－＝＋－，
∴＝－－(＋－)
＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
法二：如图所示，在PD上取一点F，使＝2，连接MF，
则＝＋，
而＝＝－，
＝－＝－
＝＝(－)，
∴＝－－＋.
∴x＝－，y＝－，z＝.
法三：＝－＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
[点评]　利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为：
①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；
②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量；
③写出结论．
1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　)
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
解析：如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
答案：B
2．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2)　　　　　　 B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
解析：b＝(a＋b)－a
＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．
答案：B
3．a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析：∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，故有＝＝，∴x＝，y＝－.
答案：C
4．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．
解析：设点P(x，y，z)，则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则
解得
即P(－1,3,3)，
则||＝
＝＝2.
答案：2
5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
cos〈，〉＝
＝＝－，
∴θ＝〈，〉＝120°.
答案：120°
6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点且||＝2||，||＝2||，PA＝AB＝1，求的坐标．
解：法一：∵PA＝AB＝AD＝1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，＝j，＝k，以i，j，k
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝k＋(－)
＝－i＋k，
∴＝.
法二：设＝i，＝j，＝k，以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M作AD的平行线交CD于点E，连接EN.
∵＝＋
＝＋＝－＋(＋)
＝－i＋(i＋k)＝－i＋k，
∴＝.
一、选择题
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是(　　)
A．3a，a－b，a＋2b　　　　 B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基；同理可判断B、D错误．
答案：C
2．以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是(　　)　　　　　　　　　
A．(1，，)
B．(1,1，)
C．(，，)
D．(，，1)
解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(1,1,1)，
∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
答案：C
3．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
解析：＝＋＋
＝＋－＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
答案：B
4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝ ，
所以 ＝6－λ.
解得λ＝－2或.
答案：C
二、填空题
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝________.
解析：∵a＋b＝(－2,1，x＋3)，
∴(a＋b)·c＝－2－x＋2(x＋3)＝x＋4.
又∵(a＋b)⊥c，
∴x＋4＝0，即x＝－4.
答案：－4
6．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
解析：由a，b，c共面可得c＝xa＋yb，
∴解得λ＝10.
答案：10
7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，所以实数x的取值范围是(－∞，2)．
答案：(－∞，－2)
8．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)，
＝(3－x，－2－y，－5－z)．
又∵＝4，∴∴
答案：
三、解答题
9．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高．
解：(1)由已知得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，
∴||＝ ＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos〈，〉＝＝＝，
sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，
则||＝＝3.
10.如图，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cos θ的值．
解：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.
∴DE＝CD·sin 30°＝.
OE＝OB－BD·cos 60°＝1－＝，
∴D点坐标为，
即向量的坐标为.
(2)依题意：＝，
＝(0，－1,0)，＝(0,1,0)．
所以＝－＝，
＝－＝(0,2,0)．
设向量和的夹角为θ，则
cos θ＝
＝
＝＝－.
∴cos θ＝－.