2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第3章 3．3 直线的方向向量

3．3直线的方向向量
[读教材·填要点]
1．直线的方向向量
一般地，如果向量v≠0与直线l平行，就称v为l的方向向量．
2．直线的方向向量的应用
(1)两条直线垂直?它们的方向向量垂直．
(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量与 平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：＝k(k是某个实数)．
(3)求两条异面直线AB，CD所成的角．
若两条异面直线AB，CD所成的角为α，，所成的角为α1，则cos α＝|cos_α1|＝.
[小问题·大思维]
1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？
提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量．
2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？
提示：相等或互补．
求异面直线所成的角
(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[自主解答]　以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，
则＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)．
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.
[答案]　C
利用向量求异面直线所成角的步骤为：
(1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；
(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
1.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．
解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
D，M(0,0,1)．
设AB和MD所成角为θ，
∵＝(1,0,0)，
＝，
∴cos θ＝＝.
∴θ＝.
∴异面直线AB与MD所成角的大小为.
证明线线垂直
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
[自主解答]　法一：(基向量法)
设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，
＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，
＝－＝－a＋b＋c，
∴·＝(a＋c)·
＝－＋cos 60°＋＝0.
∴⊥.∴AB1⊥MN.
法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.
以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得
A，B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
·＝－＋0＋＝0.
∴⊥.∴AB1⊥MN.
利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直．
(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标．
(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量．
2．直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．
解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，
则＝， ＝(0,2,3)，
·＝·(0,2,3)＝－4＋3h，
∴当h＝时，·＝0，
此时⊥，∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
如图，已知空间四边形OABC各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成的角的余弦值．
[巧思]　求异面直线OE与BF所成的角，由于已知OA，OB，OC的长度及夹角，因此，可以用，，表示与，然后利用向量的夹角公式计算即可．
[妙解]　设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.
又＝(a＋b)，＝c－b，||＝||＝.
所以·＝(a＋b)·
＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－.
所以cos〈，〉＝＝－.
所以直线OE与BF所成角的余弦值为.
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
解析：＝(2,4,6)，且(2,4,6)＝2(1,2,3)，∴直线l的一个方向向量是(1,2,3)．
答案：A
2．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1 B．2
C. D．3
解析：l1⊥l2?a·b＝－2＋6－2m＝0?m＝2.
答案：B
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，
＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
答案：B
4．直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
解析：∵v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，
∴v2＝－2v1，
∴v1∥v2，
∴l1与l2平行或重合．
答案：平行或重合
5．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E，
则＝(a，a，－a)，
＝，
cos〈，〉＝＝.
答案：
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，如图所示．
求证：EF⊥CF.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，E，
C(0,1,0)，F.
∵＝，
＝.
∴·＝×－×＋×0＝0.
∴⊥，即EF⊥CF.
一、选择题
1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1,4,5)，c＝
(－3,12，－9)，则(　　)
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.
b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.
∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.
答案：A
2．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所成角的余弦值为(　　)
A．1　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：cos〈a，b〉＝
＝＝＝.
答案：D
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　)
A．0 B.
C．－ D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)．所以＝(－2，－2,3)，＝
(－2,2,0)．所以cos〈，〉＝＝0.
答案：A
4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，
＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
二、填空题
5．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.
解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝＝，∴x＝6，y＝.
答案：6　
6．已知直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(x,3，x)，且l1⊥l2，则x＝________.
解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝0，
∴x－6＋2x＝3x－6＝0，∴x＝2.
答案：2
7．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于________．
解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成的角等于30°.
答案：30°
8．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
三、解答题
9.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
解：因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，
所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．
所以cos〈， 〉＝＝＝－.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD.应用空间向量方法解决下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知有E，F，C(0,1,0)，
B1(1,1,1)，C1(0，1,1)，G.
(1)证明：＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
得⊥，∴EF⊥B1C.
(2) ＝－(0,1,1)＝，
||＝ ＝，
由(1)得||＝ ＝，
且·＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.