2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：阶段质量检测（二）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，则式子3?5是第(　　)
A．22项　　　　　　　 　B．23项
C．24项 D．25项
解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5为和为8的第3项，所以为第24项．
答案：C
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)
A．假设是有理数　　　 　B．假设是有理数
C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数
解析：应对结论进行否定，则＋不是无理数，
即＋是有理数．
答案：D
3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：aA．大前提　　　　　　　 　B．小前提
C．结论 D．三段论
解析：由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：∠A<∠B；结论为a答案：B
4．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是(　　)
A．(a＋b)≥4 B．a3＋b3≥2ab2
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D.≥－
解析：∵a>0，b>0，
对于A，(a＋b)≥2·2＝4，
故A恒成立；
对于B，a3＋b3≥2ab2，取a＝，b＝，则B不成立；
对于C，a2＋b2＋2－(2a＋2b)
＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，
故C恒成立；
对于D，若a若a≥b，则≥－?a－b≥a＋b－2
?2b－2≤0?b≤，
因为a≥b>0，显然b≤成立．
答案：B
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；
f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案：C
6．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 015的末两位数字为(　　)
A．01 B．43
C．07 D．49
解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，…
∴7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数为f(n)，则f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)，∴72 015与73的末两位数相同，均为43.
答案：B
7．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
以上通过类比得到的结论正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
答案：B
8．已知a>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．n2 B．nn
C．2n D．22n－2
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，
可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：B
9．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是(　　)
A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英
C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德
D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.
答案：A
10．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2 018次跳后它将停在的点是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：青蛙第一次跳后停留在1点，第二次跳后停在2点，第三次跳后停在4点，第四次跳后又停在1点，以此类推，循环下去．
∵2 018＝3×672＋2，
∴2 018次跳后将停在2点．
答案：B
11．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，
∴r＝.
答案：C
12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．

　
　　
　　　
　　　　
……
第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行第4个数(从左往右数)为(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于，－，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于，－，－，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于，－，－，－＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
13．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________________．
答案：在三棱锥A-BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
14．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒________根．
解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1＝8＝6＋2.
又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…
所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
答案：6n＋2
15．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，
∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
答案：n2
16．如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0解析：平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.
答案：2π2r2d
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n(n>3，n∈N＋)边形对角线的条数f(n)，并证明所得结论．
解：由题意得当n＝4时，f(4)＝2＝；
当n＝5时，f(5)＝5＝；
当n＝6时，f(6)＝9＝；…，
由此猜测f(n)＝，
即凸n(n>3，n∈N＋)边形有条不同的对角线．
证明：因为凸n(n>3，n∈N＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n－3)条，
所以从所有的顶点出发的对角线有n(n－3)．
又每条对角线都被数了两次，
所以凸n(n>3，n∈N＋)边形的对角线的条数为.
18．(本小题满分12分)△ABC的三条高分别为ha，hb，hc，r为内切圆半径，且ha＋hb＋hc＝9r，求证：该三角形为等边三角形．
证明：设三角形三边分别为a，b，c，故只需证a＝b＝c.
因为ha＝，hb＝，hc＝，其中S为△ABC的面积，
所以ha＋hb＋hc＝2S.
又因为S＝(a＋b＋c)r，ha＋hb＋hc＝9r，
所以(a＋b＋c)＝9.
所以a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0.
将上式分解因式，
得a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0.
因为a>0，b>0，c>0，
所以(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0.
所以a＝b＝c.
∴该三角形为等边三角形．
19．(本小题满分12分)如图所示，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
证明：假设AC⊥平面SOB，
因为直线SO在平面SOB内．
所以SO⊥AC.
因为SO⊥底面圆O，
所以SO⊥AB.因为AB∩AC＝A，
所以SO⊥平面SAB.
所以平面SAB∥底面圆O，
这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，
所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
20．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)，试利用三段论形式证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
21．(本小题满分12分)已知数列{an}中，Sn为其前n项和且Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，a1＝1，
(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝(n∈N＋)，求证：数列{cn}是等差数列．
证明：(1) ∵Sn＋1＝4an＋2，
∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得
Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N＋)．
即an＋2＝4an＋1－4an.
变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．
∵bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，∴bn＋1＝2bn.
∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，
∴S2＝4a1＋2＝6，即a2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3.
∴bn＝3·2n－1.
由此可知，数列{bn}是以3为首项，公比为2的等比数列．
(2)∵cn＝(n∈N＋)，
∴cn＋1－cn＝－＝＝，
将bn＝3·2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n∈N＋)．
又c1＝＝，
由此可知，数列{cn}是首项为，公差为的等差数列．
22．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样
的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋(n≥2)的值．
解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：
由图可得f(5)＝41.
(2)可得f(2)－f(1)＝4×1；
f(3)－f(2)＝8＝4×2；
f(4)－f(3)＝12＝4×3；
f(5)－f(4)＝16＝4×4；
……
由上式规律，可得f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．
由以上各式相加可得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－1)]＝4×＝2n2－2n，
又f(1)＝1，∴f(n)＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝＝，
∴原式＝1＋1－＋－＋－＋…＋－＝1＋＝－.