2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：阶段质量检测（四）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝(　　)
A．3－i　　　　　　　　　 　B．3＋i
C．1＋3i D．3
解析：(1＋z)·＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案：A
2．复数＝(　　)
A．i B．－i
C．12－13i D．12＋13i
解析：＝＝＝i.
答案：A
3．(北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
所以解得a＜－1.
答案：B
4．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：设z＝bi(b≠0)，则
＝＝＝.
∵是实数，∴2＋b＝0.
∴b＝－2，∴z＝－2i.
答案：D
5．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
答案：D
6．已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若为纯虚数，则|z1|＝(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：由于＝＝
＝为纯虚数，则a＝1，
则|z1|＝，故选D.
答案：D
7．若z1＝(2x－1)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由z1，z2互为共轭复数，得解得
所以z1＝(2x－1)＋yi＝－3－i.
由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限．
答案：C
8．(全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．
答案：B
9．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，
所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
故z2＋2的虚部为0.
答案：A
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
答案：A
11．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝ |z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
答案：A
12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：因为1＋i是实系数方程的一个复数根，
所以1－i也是方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，
解得b＝－2，c＝3.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)
13．i是虚数单位，2 018＋6＝________.
解析：原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1009＋i6
＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
14．若复数z满足方程i＝i－1，则z＝________.
解析：∵i＝i－1，
∴＝＝(i－1)(－i)＝1＋i.
∴z＝1－i.
答案：1－i
15．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
解析：∵＝2＋
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即　∴
答案：－3　－10
16．设z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则 z2的虚部是________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝a－bi，
∴z2＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i.
由已知得a－b＝1.
∴z2的虚部为－1.
答案：－1
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：(1)z1·z2；(2).
解：z2＝＝1－3i.
(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)已知z1＝(x＋y)＋(x2－xy－2y)i，z2＝(2x－y)－(y－xy)i，问x，y取什么实数值时，
(1)z1，z2都是实数；
(2)z1，z2互为共轭复数．
解：(1)由题意得
解得或
所以当或时，z1，z2都是实数．
(2)由题意得
解得或
所以当或时，z1，z2互为共轭复数．
19．(本小题满分12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得－1即实数a的取值范围为(－1,1)．
20．(本小题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解：(1)z1＝i(1－i)3＝i(1－i)2(1－i)＝2－2i，
∴|z1|＝＝2.
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.
21．(本小题满分12分)设为复数z的共轭复数，满足|z－|＝2.
(1)若z为纯虚数，求z.
(2)若z－2为实数，求|z|.
解：(1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝－bi，
因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，即|b|＝，
所以b＝±，所以z＝±i.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，即|b|＝，
因为z－2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.
z－2为实数，
所以b＋2ab＝0.
因为|b|＝，所以a＝－，
所以|z|＝ ＝.
22．(本小题满分12分)已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
解：设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，
所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．