2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：阶段质量检测（一）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为y＝bx＋a，则(　　)
A．a>0，b>0　　　　　　　 　B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：由表中数据画出散点图，如图，
由散点图可知b<0，a>0.
答案：B
2．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)
A．0.12 B．0.88
C．0.28 D．0.42
解析：P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.
答案：D
3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)
A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200
C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200
解析：由题意知选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义．
答案：A
4．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是(　　)
A．互斥的事件　　　　 　B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
解析：由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．
答案：D
5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：可知K，A1，A2三类元件正常工作相互独立．
所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，
所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
6．对有线性相关关系的两个因素建立的回归直线方程y＝bx＋a中，回归系数b(　　)
A．可以小于0 B．大于0
C．能等于0 D．只能小于0
解析：∵b＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但b可以大于0也可以小于0.
答案：A
7．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握 大约为(　　)
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
解析：由题表中数据得χ2＝≈5.060>3.841.
所以有95%的把握认为两变量之间有关系．
答案：B
8．2017年7月北京持续高温，下表是某同学记录的7月11日至7月22日每天因中暑去某医院的人数，及根据这些数据绘制出的散点图如下：
日期
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
人数
100
109
115
118
121
134
日期
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
7.22
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有正相关关系；
③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由散点图可知日期与人数具有线性相关关系而不是一次函数关系，故①正确， ③错误．由散点图可知，人数随日期的增加而增多，故②正确．
答案：C
9．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过(　　)
x
1
2
3
4
y
5
7
9
10
A．点(2,8) B．点(2.5,8)
C．点(10,31) D．点(2.5,7.75)
解析：线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5,7.75)．
答案：D
10．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：
学位
性别
硕士
博士
合计
男
162
27
189
女
143
8
151
合计
305
35
340
根据以上数据，则(　　)
A．性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上都是错误的
解析：由列联表可得：博士：男性占≈77%，女性占≈23%，相差很大，
所以性别与获取学位的类别有关．
答案：A
11．已知x，y的取值如表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋，则b的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：计算得＝3，＝5，代入到y＝bx＋中，得b＝－.
答案：A
12．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(　　)
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析：根据临界值表，9.643＞6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
13．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个．甲从第一组中抽取1题，乙从第二组中抽取1题．甲、乙都抽到物理题的概率是________，甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是________．
解析：设A＝{甲抽到物理题}，B＝{乙抽到物理题}．
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝P(A)P(B)＝，
∴甲、乙至少有一人抽到数学题的概率为P＝1－P(AB)＝.
答案：　
14．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要________h.
解析：当x＝600时，y＝0.01×600＋0.5＝6.5.
答案：6.5
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表知＝30，设模糊不清的数据为m，
则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，
因为＝0.67＋54.9，
即＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.
答案：68
16．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.
则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．
解析：由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%.
答案：5%
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB ∪A C∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A  ∪B∪ C)
＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为＋＋＝.
18．(本小题满分12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
产量(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本(元)
73
72
71
73
69
68
(1)试确定回归直线；
(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？
解：(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元)作散点图．
由图知y与x间呈线性相关关系，
设线性回归方程为y＝bx＋a，
＝3.5，＝71，Sxy＝－，S＝，
故由公式可求得b＝＝－1.818，a＝77.363，
∴线性回归方程为y＝－1.818x＋77.363.
(2)由线性回归方程知，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6 000时，y＝－1.818×6＋77.363＝66.455(元)，
当y＝70时，70＝－1.818x＋77.363，得x＝4.05(千件)．
19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者　　　　　　
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)χ2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
20．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53　76
78　86　95　66　97　78　88　82　76　89
B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64　82
93　48　65　81　74　56　54　76　65　79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，
即P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，
P(C)＝×＋×＝0.48.
21．(本小题满分12分)如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i
＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
根据表中数据及χ2的计算公式得，
χ2＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．