2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：模块综合检测


(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．2－2i　　　　　　　 　B．2＋2i
C．1－i D．1＋i
解析：z＝＝＝＝1－i.
答案：C
2．设回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时(　　)
A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位 D．y平均减少3个单位
解析：由回归方程知：y与x是负相关的，x每增加一个单位，y减少5个单位．
答案：B
3．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为(　　)
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
解析：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提是③，结论是①.
答案：D
4．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为(　　)
A．10 B．14
C．13 D．100
解析：由于1有1个，2有2个，3有3个，…，则13有13个，所以1～13的总个数为＝91，从而第100个数为14.
答案：B
5．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝＝1－i，
故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．
答案：D
6．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是(　　)
A．b4＋b8＞b5＋b7 B．b5＋b7＞b4＋b8
C．b4＋b7＞b5＋b8 D．b4＋b5＞b7＋b8
答案：A
7．(山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
答案：D
8．已知a，b，c，d为正数，S＝＋＋＋，则(　　)
A．0C．2解析：S<＋＋＋＝2，
S>＋＋＋＝1.
∴1答案：B
9．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，则f2 019(x)等于(　　)
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，
f5(x)＝cos x，…可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N＋)，
∴f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x.
答案：D
10．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)
A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2)
解析：AC＋BD＋CA＋DB
＝(AC＋CA)＋(BD＋DB)
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝4AA＋2(AC2＋BD2)
＝4(AA＋AB2＋AD2)．
答案：C
11．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn>xn＋1
C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.
答案：D
12．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：根据三棱锥的体积公式V＝Sh，
得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，
即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，
所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
13．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析：程序运行后，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2；
s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3；
s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4；
s＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故输出的结果是10.
答案：10
14．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝________.
解析：∵(1＋i)z＝|－i|＝2，
∴z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1＋i
15．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，　①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________，②
②式可用语言叙述为：________________________________________________.
解析：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，
V(R)＝πR3，S(R)＝4πR2.
答案：′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a2 018，则 a2 018＝________.
解析：5＝2＋3＝a1,
9＝2＋3＋4＝a2,
14＝2＋3＋4＋5＝a3，
…，
an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝(n＋1)(n＋4)，
由此可得a2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝×2 019×2 022＝2 019×1 011.
答案：2 019×1 011
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝.
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
解：由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i.
因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以z1＝－1＋i.
(2)因为z2＋az＋b＝1－i，
所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，
解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，
所以z2的共轭复数为－3－4i.
18．(本小题满分12分)高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．为验证其正确性，对高三文科成绩调查得到如下列联表：
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
12
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
877
36
913
能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系？P(χ2≥5.024)＝0.025.
解：根据列联表中的数据，得
χ2＝≈6.233>5.024.
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)要证明f＋f≤，
只需证明＋≤，
只需证明＋≤，
即证≤，
即证3b2＋12ab＋3a2≤4a2＋10ab＋4b2.
即证(a－b)2≥0，这显然成立，
∴f＋f≤.
假设af(b)，bf(a)都小于或等于，
即≤，≤，
∴2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b>4矛盾，
∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
20．(本小题满分12分)一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生
A1
A2
A3
A4
A5
数学成绩x(分)
89
91
93
95
97
物理成绩y(分)
87
89
89
92
93
(1)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；
(2)根据上表数据作散点图，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)．
参考公式：
回归直线的方程是：y＝bx＋a，
其中b＝，a＝－b，
＝93，＝90，Sxy＝6，S＝8.
解：(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种情况．
其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有：
(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7种情况，
故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P＝.
(2)散点图如图所示：
根据所给的数据，可以计算出b＝＝0.75，a＝90－0.75×93＝20.25，
所以y与x的线性回归方程是y＝0.75x＋20.25.
21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1.
将以上各等式两边分别相加得：(n＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
(1)类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
(2)根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．
解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…，
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1，
将以上各式两边分别相加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，
∴12＋22＋…＋n2＝＝n(n＋1)(2n＋1)．
(2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝×100×101×201－4××50×51×101＝166 650.
22．(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝.
解：(1)由已知得，样本中有25周岁(含25周岁)以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组(含25周岁)”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．