2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：第4章 4．4 一元线性回归案例
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：第4章 4．4 一元线性回归案例 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 314.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 16:44:18 | ||
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文档简介
4．4一元线性回归案例
[读教材·填要点]
1．相关系数
(1)定义：样本量是n的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，…，xn，用表示数据y1，y2，…，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入
sxy＝－ .
当sxsy≠0时，称rxy＝为和的相关系数．
①当rxy>0，我们称和正相关；
②当rxy<0，我们称和负相关；
③当rxy＝0，我们称和不相关．
(2)性质：
①rxy总在区间[－1,1]中取值；
②当rxy越接近于1时，x增加，y也倾向于增加，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条上升的直线附近；
③当rxy越接近于－1时，x增加，y倾向于减少，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条减少的直线附近．
2．一元线性回归
(1)回归直线方程：
l：y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b .
(2)一元线性回归模型：
若样本量n的成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中yi和xi满足关系：yi＝bxi＋a＋ei，i＝1,2，…，n，其中e1，e2，…，en表示随机误差，则称该模型为一元线性回归模型．
[小问题·大思维]
1．|rxy|越接近1，及越接近于0，表示两个变量x与y之间线性相关程度如何？
提示：|rxy|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|rxy|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常|rxy|>0.8时，认为有很强的相关关系．
2．在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？
提示：不唯一．y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化．
3．随机误差e产生的主要原因有哪些？
提示：随机误差e产生的主要原因有：
(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
(2)忽略了某些因素的影响；
(3)存在观测误差．
4．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？
提示：不一定是真实值．利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．
相关性检验
在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：
X(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
Y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性．
[自主解答] (1)作出如图所示的散点图．
从散点图可看出腐蚀深度Y(μm)与腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系．
(2)相关系数rxy＝，其中
sxy＝－ ＝362.562.
sx≈34.515 8，
sy≈10.697 1.
∴rxy＝≈0.98.
显然|rxy|>0.8，所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系．
判断两个变量X和Y线性相关的方法：
(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关．
(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性．
如果|rxy|>0.8，则有很强的线性相关关系．
1．要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性．
解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系．
(2)因为＝70，＝76，
sxy＝189.4，sx＝15.729，sy＝14.339.
由rxy＝，得rxy≈0.839 8>0.8.
所以x与y有较强的线性关系．
线性回归分析
为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
6
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．
[自主解答] (1)由表中数据得＝5，＝4， yi＝108.5，
则Sty＝－t＝1.7，S＝2.
∴b＝＝0.85，a＝－b＝－0.25，
∴回归方程式为y＝0.85t－0.25.
(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得
y＝0.85×8－0.25＝6.55.
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．
进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程．如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制．
2．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：摄氏度)之间有下列 数据：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①y＝－x＋2.8，②y＝－x＋3，③y＝－1.2x＋2.6.其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．①③
解析：回归方程y＝bx＋a表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①.
答案：A
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
[巧思] (1)利用相关系数rxy判断；
(2)利用最小二乘法求得a，b的值，进而求得回归方程．
[妙解] (1)列出下表，并用科学计算器进行计算.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1 360
2 250
3 240
4 450
5 700
7 140
8 640
10 350
12 200
于是rxy＝
＝≈0.999 8.
所以y与x具有线性相关关系．
(2)设所求的回归直线方程为y＝bx＋a，
那么由上表可得b＝≈0.668，
a＝－b＝91.7－0.668×55≈54.96，
即所求的回归直线方程为y＝0.668x＋54.96.
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①， 故选D.
答案：D
2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，
故x与z负相关．
答案：C
3．相关变量x，y的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝1.1x＋a，则a＝( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
解析：∵回归直线经过样本中心点(，)，且由题意得(，)＝(3,3.6)，
∴3.6＝1.1×3＋a，∴a＝0.3.
答案：C
4．在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是________________________．
答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系
5．某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y＝52.15－19.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降________元．
解析：由回归系数的意义得下降19.5元．
答案：19.5
6．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知iyi＝62，＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
解：(1)散点图如下图所示：
(2)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
sxy＝－ ＝12.4－13.32＝－0.92.
所以b＝＝＝－11.5，
a＝－b＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的回归方程为y＝28.1－11.5x.
(3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
一、选择题
1．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.点(2,2) B．点(1.5,2)
C．点(1,2) D．点(1.5,4)
解析：＝＝＝1.5，＝＝4，
∴线性回归方程必过点(1.5,4)．
答案：D
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4
C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确．
答案：A
3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4 ℃时，预测销售量约为( )
A．68 B．66
C．72 D．70
解析：∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，
∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，
当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：A
4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝________.
解析：＝2.5，＝3.5，b＝－0.7，∴a＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
答案：5.25
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________________．
解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，
可得y－5＝1.23(x－4)，即y＝1.23x＋0.08.
答案：y＝1.23x＋0.08
8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果 如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此，得到回归直线的斜率是________．
解析：根据sxy＝－ ，及b＝，得b＝0.880 9.
答案：0.880 9
三、解答题
9．在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：
年龄x
22
26
38
41
45
48
50
53
54
56
57
脂肪含量y
9.4
17.8
21.2
24.9
26.5
27.1
28.2
29.4
30.2
31.4
32.6
(1)画出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程；
(3)预测39岁的人脂肪含量．(保留四位有效数字)
解：(1)画出散点图．
(2)由散点图可以看出y与x之间有较强的线性相关关系，
可算得＝i≈44.545 5，
＝i≈25.336 4，iyi＝13 205，＝23 224，
∴b＝≈0.565 7，a＝－b ≈0.137 0.
∴y与x之间的线性回归方程为y＝0.565 7x＋0.137 0.
(3)当x＝39时，y＝0.565 7×39＋0.137 0≈22.20，
∴39岁的人的脂肪含量约为22.20%.
10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，＝，＝－，
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝I ＝＝3，＝i＝＝7.2.
又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，
lty＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而＝＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
[读教材·填要点]
1．相关系数
(1)定义：样本量是n的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，…，xn，用表示数据y1，y2，…，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入
sxy＝－ .
当sxsy≠0时，称rxy＝为和的相关系数．
①当rxy>0，我们称和正相关；
②当rxy<0，我们称和负相关；
③当rxy＝0，我们称和不相关．
(2)性质：
①rxy总在区间[－1,1]中取值；
②当rxy越接近于1时，x增加，y也倾向于增加，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条上升的直线附近；
③当rxy越接近于－1时，x增加，y倾向于减少，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条减少的直线附近．
2．一元线性回归
(1)回归直线方程：
l：y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b .
(2)一元线性回归模型：
若样本量n的成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中yi和xi满足关系：yi＝bxi＋a＋ei，i＝1,2，…，n，其中e1，e2，…，en表示随机误差，则称该模型为一元线性回归模型．
[小问题·大思维]
1．|rxy|越接近1，及越接近于0，表示两个变量x与y之间线性相关程度如何？
提示：|rxy|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|rxy|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常|rxy|>0.8时，认为有很强的相关关系．
2．在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？
提示：不唯一．y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化．
3．随机误差e产生的主要原因有哪些？
提示：随机误差e产生的主要原因有：
(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
(2)忽略了某些因素的影响；
(3)存在观测误差．
4．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？
提示：不一定是真实值．利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．
相关性检验
在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：
X(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
Y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性．
[自主解答] (1)作出如图所示的散点图．
从散点图可看出腐蚀深度Y(μm)与腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系．
(2)相关系数rxy＝，其中
sxy＝－ ＝362.562.
sx≈34.515 8，
sy≈10.697 1.
∴rxy＝≈0.98.
显然|rxy|>0.8，所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系．
判断两个变量X和Y线性相关的方法：
(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关．
(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性．
如果|rxy|>0.8，则有很强的线性相关关系．
1．要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性．
解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系．
(2)因为＝70，＝76，
sxy＝189.4，sx＝15.729，sy＝14.339.
由rxy＝，得rxy≈0.839 8>0.8.
所以x与y有较强的线性关系．
线性回归分析
为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
6
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．
[自主解答] (1)由表中数据得＝5，＝4， yi＝108.5，
则Sty＝－t＝1.7，S＝2.
∴b＝＝0.85，a＝－b＝－0.25，
∴回归方程式为y＝0.85t－0.25.
(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得
y＝0.85×8－0.25＝6.55.
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．
进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程．如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制．
2．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：摄氏度)之间有下列 数据：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①y＝－x＋2.8，②y＝－x＋3，③y＝－1.2x＋2.6.其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．①③
解析：回归方程y＝bx＋a表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①.
答案：A
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
[巧思] (1)利用相关系数rxy判断；
(2)利用最小二乘法求得a，b的值，进而求得回归方程．
[妙解] (1)列出下表，并用科学计算器进行计算.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1 360
2 250
3 240
4 450
5 700
7 140
8 640
10 350
12 200
于是rxy＝
＝≈0.999 8.
所以y与x具有线性相关关系．
(2)设所求的回归直线方程为y＝bx＋a，
那么由上表可得b＝≈0.668，
a＝－b＝91.7－0.668×55≈54.96，
即所求的回归直线方程为y＝0.668x＋54.96.
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①， 故选D.
答案：D
2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，
故x与z负相关．
答案：C
3．相关变量x，y的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝1.1x＋a，则a＝( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
解析：∵回归直线经过样本中心点(，)，且由题意得(，)＝(3,3.6)，
∴3.6＝1.1×3＋a，∴a＝0.3.
答案：C
4．在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是________________________．
答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系
5．某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y＝52.15－19.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降________元．
解析：由回归系数的意义得下降19.5元．
答案：19.5
6．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知iyi＝62，＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
解：(1)散点图如下图所示：
(2)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
sxy＝－ ＝12.4－13.32＝－0.92.
所以b＝＝＝－11.5，
a＝－b＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的回归方程为y＝28.1－11.5x.
(3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
一、选择题
1．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.点(2,2) B．点(1.5,2)
C．点(1,2) D．点(1.5,4)
解析：＝＝＝1.5，＝＝4，
∴线性回归方程必过点(1.5,4)．
答案：D
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4
C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确．
答案：A
3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4 ℃时，预测销售量约为( )
A．68 B．66
C．72 D．70
解析：∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，
∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，
当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：A
4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝________.
解析：＝2.5，＝3.5，b＝－0.7，∴a＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
答案：5.25
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________________．
解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，
可得y－5＝1.23(x－4)，即y＝1.23x＋0.08.
答案：y＝1.23x＋0.08
8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果 如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此，得到回归直线的斜率是________．
解析：根据sxy＝－ ，及b＝，得b＝0.880 9.
答案：0.880 9
三、解答题
9．在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：
年龄x
22
26
38
41
45
48
50
53
54
56
57
脂肪含量y
9.4
17.8
21.2
24.9
26.5
27.1
28.2
29.4
30.2
31.4
32.6
(1)画出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程；
(3)预测39岁的人脂肪含量．(保留四位有效数字)
解：(1)画出散点图．
(2)由散点图可以看出y与x之间有较强的线性相关关系，
可算得＝i≈44.545 5，
＝i≈25.336 4，iyi＝13 205，＝23 224，
∴b＝≈0.565 7，a＝－b ≈0.137 0.
∴y与x之间的线性回归方程为y＝0.565 7x＋0.137 0.
(3)当x＝39时，y＝0.565 7×39＋0.137 0≈22.20，
∴39岁的人的脂肪含量约为22.20%.
10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，＝，＝－，
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝I ＝＝3，＝i＝＝7.2.
又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，
lty＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而＝＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
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