2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：第5章 5．1.1 & 5.1.2 合情推理(一)——归纳 合情推理(二)——类比

5．1合情推理与演绎推理
5．1.1 & 5.1.2　合情推理(一)——归纳　合情推理(二)——类比
[读教材·填要点]
1．合情推理的含义及方法
“合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比．
(1)归纳
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳．
(2)类比
根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有相似之处的推理方法，叫作类比．
2．合情推理的过程
[小问题·大思维]
1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．你认为下列说法正确的有哪些？
①由合情推理得出的结论一定是正确的；②合情推理必须有前提有结论；③合情推理不能猜想；④合情推理得出的结论不能判断正误．
提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一定正确，故只有②正确．
数列中的归纳推理
已知数列{an}的每一项均为正数，a1＝1，a＝a＋1(n＝1,2,3，…)，试归纳出数列{an}的一个通项公式．
[自主解答]　当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝.
由此猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
若将“a＝a＋1”改换为“an＋1＝”，试猜想{an}的一个通项公式．
解：当n＝1时，a1＝1，
由an＋1＝(n∈N＋)，得
a2＝，a3＝＝，a4＝＝＝.
由此猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
解：当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
几何中的归纳推理
如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
[自主解答]　将圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝；
f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝；
f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝；
f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝；
所以n＝5时，f(5)＝25，g(5)＝16＝.
(2)根据题意猜测：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为f(n)＝n2条线段，将圆最多分割为g(n)＝部分．
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
2．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
A．26　　　　　　　　　 　B．31
C．32 D．36
解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
答案：B
类比推理
(1)若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列{bn}：bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则有数列{dn}：dn＝________(n∈N*)也是等比数列．
(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
[自主解答]　(1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：dn＝.
答案：
(2)如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，
其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
1．类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
该过程包括两个步骤：
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；
(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
2．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：
平面图形
点
直线
边长
面积
三角形
线线角
空间图形
直线
平面
面积
体积
四面体
面面角
3．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是__________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.
答案：＝
类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
[巧思]　考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象．
[妙解]　如图(1)，(2)所示，与Rt△ABC相对应的是四面体P-DEF；与Rt△ABC的两条边构成的1个直角相对应的是四面体P-DEF的3个面在一个顶点构成的3个直二面角；与Rt△ABC的直角边边长a，b相对应的是四面体P-DEF中的△DEF，△FPD和△DPE的面积S1，S2和S3；与Rt△ABC的斜边c相对应的是四面体P-DEF中的△PEF的面积S.
我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P-DEF中，
我们猜想：S2＝S＋S＋S成立．
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：∵Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2?a2＝＝；
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝；
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝.
∴猜想an＝.
答案：B
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A. B．△
C. D．○
解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
答案：A
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
答案：D
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
答案：1∶8
5．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.
把结论类比到四面体P-ABC中，我们猜想，在三棱锥P-ABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
一、选择题
1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是(　　)
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
答案：D
2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交．
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直．
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行．
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C，还有可能异面，对于D，还有可能异面．
答案：B
3．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”(　　)
A．定值
B．变数
C．有时为定值、有时为变数
D．与正四面体无关的常数
解析：设正四面体S-ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VS-ABC＝·a2·(h1＋h2＋h3＋h4)＝·a2·a，
∴h1＋h2＋h3＋h4＝a(此为正四面体的高)．
答案：A
4．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是(　　)
A．白色　　　　　　　　 　B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．
答案：A
二、填空题
5．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33＝________.
解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，
故{an}是以6个项为周期循环出现，a33＝a3＝3.
答案：3
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，________，成等比 数列．
解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：　
7．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．
解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，
即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.
答案：πab
8．已知f(x)＝ ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 018(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f＝＝；
又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
故可猜想f2 018(x)＝.
答案：f2 018(x)＝
三、解答题
9．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，
则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知的双曲线上，
所以n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
10．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝，m为常数．
(1)当m＝1,2,3,4时，分别求数列的通项公式an；
(2)当m∈N＋时，猜想数列的通项公式．
解：(1)当m＝1时，
由a1＝1，an＋1＝.
∴＝＋1.
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
求得an＝.
当m＝2时，由a1＝1，an＋1＝，求得an＝；
当m＝3时，由a1＝1，an＋1＝，求得an＝；
当m＝4时，由a1＝1，an＋1＝，求得an＝.
(2)由上述归纳猜想得
当m∈N＋时，由a1＝1，an＋1＝得an＝.