2019年数学湘教版选修1-2新设计同步（讲义）：第5章 章末小结

1．两种合情推理
(1)归纳推理：
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：
①通过观察个别对象发现某些相同性质；
②由相同性质猜想一般性命题．
(2)类比推理：
类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：
①找出两类对象之间的相似性或一致性；
②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．
2．演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．
演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．
3．直接证明——综合法和分析法
(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．
(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．
注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．
②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．
4．间接证明——反证法
反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．
注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．
归 纳 推 理
[例1]　给出下面的数表序列：
　　　　　　
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
[解]　表4为

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．
[例2]　蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
则f(4)＝________，f(n)＝________.
[解析]　因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，
f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.
[答案]　37　3n2－3n＋1
解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．
1．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是　　　　.
解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…
归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，
所以S7＝2×72－7＝91.
答案：91
2.如图，给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可得n(n∈N＋)层六边形，试写出Sn的表达式．
解：设每层除去最上面的一个点的点数为an，
则an是以5为首项，4为公差的等差数列，
则Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1＝＋1＝2n2＋3n＋1(n∈N＋).
类 比 推 理
[例3]　在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D.
求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
[证明]　如右图所示，由射影定理，
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝＝＝.
∵BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，
AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
证明上述猜想成立．
如右图所示，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋.
故猜想正确．
(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．
(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．
3．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm－n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：_________________________.
答案：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn，(m，n∈N*，m≠n)，则Tm－n＝1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝ ，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．
解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则此四面体的外接球的半径为R＝ .
综合法和分析法
[例4]　设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
[证明]　法一：(综合法)
∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
∴＋＋≥8.
法二：(分析法)
∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2.
由基本不等式可知，当a＞0，b＞0时，＋≥2成立，
所以原不等式成立．
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
5．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)．
(1)证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1证明：(1)由ax－1>0，得ax>1.
①当a>1时，x>0，函数图象在y轴右侧；
②当0故函数图象总在y轴一侧．
(2)由于kAB＝，又由x1故只需证y2－y1>0即可．
因为y2－y1＝loga(a x2－1)－loga(a x1－1)
＝loga.
①当a>1时，由0a0即0故有>1，loga>0，
即y2－y1>0.
②当0由x1得a0>a x1>a x2>1.
即a x1－1>a x2－1>0.
故有0<<1，
∴y2－y1＝loga>0，即y2－y1>0.
综上，直线AB的斜率总大于零．
反　证　法
[例5]　已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
[证明]　假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
与a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.
(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．
(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．
6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，
故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A