2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质

2．3.2　抛物线的简单几何性质
第一课时　抛物线的简单几何性质
[读教材·填要点]
抛物线的几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
图象
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
[小问题·大思维]
1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？
提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形．
2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦半径|PF|
|PF|＝____
|PF|＝____
|PF|＝____
|PF|＝____
焦点弦|AB|
|AB|＝____
|AB|＝____
|AB|＝____
|AB|＝____
提示：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦半径|PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦|AB|
|AB|＝x1＋x2＋p
|AB|＝p－x1－x2
|AB|＝y1＋y2＋p
|AB|＝p－y1－y2
抛物线方程及其几何性质
已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．
[自主解答]　当焦点在x轴的正半轴上时，
设方程为y2＝2px(p>0)．
当x＝时，y＝±p，
由|AB|＝2p＝8，得p＝4.
故抛物线方程为y2＝8x，
焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.
当焦点在x轴的负半轴上时，
设方程y2＝－2px(p>0)．
由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，
焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：
1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标为，.
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4.
∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
抛物线几何性质的应用
已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
[自主解答]　∵|OA|＝|OB|，
∴设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)．
∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，
∴kFA·kOB＝－1，
即·＝－1，
∴y＝x0＝2px0(x0＞0，p＞0)．
∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝p.
若将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA⊥OB”，求|AB|的值．
解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称．
如图，设A(x0，y0)，则kOA＝＝1且y＝2px0，
∴x0＝y0＝2p，
∴|AB|＝2y0＝4p.
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可．
2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，|AB|＝5，求抛物线的方程．
解：∵OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形．
∵OA所在直线为y＝2x，
∴OB所在直线方程为y＝－x.
由得A点坐标.
由得B点坐标为(8p，－4p)．
∵|AB|＝5，
∴ ＝5.
∵p>0，解得p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝x.
抛物线中过焦点的弦长问题
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．
[自主解答]　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，
于是弦AB的中点M的横坐标为，
因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
抛物线y2＝±2px(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值．
3．已知直线l：y＝4x－6与抛物线y2＝6x交于A，B两点，求|AB|.
解：设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立消去y得8x2－27x＋18＝0，①
则x1，x2是方程①的两根，
∴x1＋x2＝.
∵y＝4x－6＝4过抛物线的焦点，
∴|AB|＝x1＋x2＋3＝＋3＝.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
[巧思]　抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，由圆和抛物线的对称性，可判断A与B关于x轴对称，结合|AB|＝2可得A，B坐标，从而求出方程．
[妙解]　由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称．
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2.
∴|y1|＝|y2|＝.
代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，解得x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)．
代入抛物线方程，得(±)2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　　 B．y2＝3x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
解析：∵抛物线的焦点为，
∴p＝3，且抛物线开口向右，
∴抛物线的标准方程为y2＝6x.
答案：C
2．抛物线y2＝－8x上的点P到焦点的距离的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设抛物线上的点P的坐标为(x0，y0)，则P点到焦点的距离d＝|x0|＋，故dmin＝＝2.
答案：A
3．边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且A为x轴上方的点，则易求A，
∴＝p.∴p＝.
∴抛物线方程为y2＝x.
同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－x.
答案：C
4．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.
答案：
5．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
解析：设所求点(x0，y0)，则x＋y＝2，
又y＝x0，
∴x0＝.∴y0＝±.
答案：
6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程．
解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∴过焦点F，垂直于x轴的弦长为4＜36.
∴弦所在直线斜率存在，
由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
∴设直线方程为y＝k(x－1)．
由消去y，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2.
又|AB|＝36，
∴＋2＝36.
∴k＝±.
故所求直线的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
一、选择题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
2．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，则∠AMB是(　　)
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．锐角或钝角
解析：由题意可得|AB|＝2p.
又焦点到准线距离|FM|＝p，F为AB中点，
∴|FM|＝|AB|.
∴△AMB为直角三角形且∠AMB＝90°.
答案：B
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于R，过抛物线上点P(4，－4)作PQ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积是(　　)
A．18 B．16
C．14 D．12
解析：由题意知PQRF为一直角梯形，
其中PQ∥RF，且|PQ|＝4＋1＝5，|RF|＝2，
∴SPQRF＝×4＝14.
答案：C
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，
根据已知只要|FM|>4即可．
根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，
解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
答案：C
二、填空题
5．以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x－4y＋3＝0上的抛物线方程是________．
解析：由题意知，抛物线的焦点为F，
∴抛物线方程是y2＝－6x.
答案：y2＝－6x
6．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝________.
解析：椭圆的焦点为(±2,0)．当抛物线焦点为(2,0)时，m＝8，当抛物线焦点为(－2,0)时，m＝－8.
答案：±8
7．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋2≥a2，
整理，得y(y＋16－8a)≥0.
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.即a≤2＋恒成立．
而2＋的最小值为2，∴a≤2.
答案：(－∞，2]
8．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此
·＝x1x2＋y1y2＝yy＋y1y2
＝(－1)2＋(－1)＝0.
∴⊥.
∴∠AOB＝90°.
答案：90°
三、解答题
9．若抛物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程．
解：双曲线方程16x2－9y2＝144，化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.
10．证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明：如图，设抛物线方程y2＝2px(p＞0)，准线为l，AB为抛物线的焦点弦，点P为AB的中点，
∴P为以AB为直径的圆的圆心，
AM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M，N，Q.
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|，
即|PQ|＝|AB|，
所以以AB为直径的圆必与准线相切．
即得证．