2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 章末小结

1．圆锥曲线的标准方程
求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．
2．求椭圆、双曲线的离心率的方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．
(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．
圆锥曲线的定义及性质问题
[例1]　已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
[解]　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得
||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos 60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|. ①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin 60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48. ②
由①②，得c2＝16，c＝4，
则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．
1．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞)　　　　 　B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：由题意得双曲线的离心率e＝.
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
直线与圆锥曲线的位置关系
[例2]　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[解]　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1，　 ①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1，　 ②
把②代入①得2m>m2，
解得0由②得k2＝>0，
解得m>，
故所求m的取值范围是.
讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．
3．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，
于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即4＝2(m＋1)，解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题
[例3]　(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．
(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．
4．设椭圆＋＝1上的动点P(x，y)，点A(a,0)(0＜a＜3)．若|AP|的最小值为1，求a的值．
解：|AP|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4
＝2－＋4.
因为＝1－，所以≤1,0≤|x|≤3.
(1)当0＜≤3，即0＜a≤时，
x＝，|AP|2取最小值4－＝1.
解得a＝.因为＞，所以a不存在．
(2)当＞3，即＜a＜3时，
x＝3，|AP|2取最小值2＋4－＝1.
解得a＝2或a＝4(舍)．
所以，当a＝2时，|AP|的最小值为1.
5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.
证明：如图所示．
∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，
∴y1y2＝－p2，
∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
∴点C的坐标为，
故直线CO的斜率k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，
∴直线AC经过原点O.