2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 3．1 导数概念

3．1导_数_概_念
3．1.1　问题探索——求自由落体的瞬时速度
3．1.2　问题探索——求作抛物线的切线
[读教材·填要点]
1．瞬时速度
若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋于0时的极限．
2．曲线的切线
一般地，设P(u，f(u))是函数y＝f(x)的曲线上的任一点，则求点P处切线斜率的方法是：
(1)在曲线上取另一点Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ的斜率k(u，d)＝；
(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d)中让d趋于0，如果k(u，d)趋于确定的数值k(u)，则k(u)就是曲线在点P处的切线的斜率.
[小问题·大思维]
1．f(t＋d)－f(t)，d的值一定是正值吗？
提示：f(t＋d)－f(t)，d可正可负，f(t＋d)－f(t)可以为零，但d≠0.
2．“d趋近于0”的意义是什么？
提示：“d趋近于0”的意义是：d与0的距离无限接近，即|d－0|可以小于给定的任意小的正数，但始终d≠0.
3．此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？
提示：此处的切线是利用割线的极限位置定义的，以前学的切线是从直线与曲线的交点个数来定义的．
瞬时速度问题
一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s＝gt2(g＝10 m/s2，位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝2 s时的瞬时速度．
[自主解答]　因为s(2＋d)－s(2)
＝g(2＋d)2－g×22
＝2gd＋gd2.
当d趋于0时，趋于2g.所以物体在t＝2 s时的瞬时速度为20 m/s.
运动物体瞬时速度的问题实际上是函数平均变化率在物理知识上的一个深入的应用，事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬时变化率，这里需要强调的是：依题意在求得后，只有当d趋于0时，趋于一个常数时，此常数才称为物体在t时的瞬时速度．
1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解：s(2＋d)－s(2)＝3(2＋d)－(2＋d)2－(3×2－22)
＝3d－4d－d2＝－d－d2，
∴＝＝－1－d.
当d趋于0时，－1－d趋于－1，
∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
求曲线的切线方程
已知曲线C：f(x)＝x3＋，求曲线C上横坐标为2的点处的切线方程．
[自主解答]　将x＝2代入曲线C的方程得f(2)＝4，
∴切点P(2,4)．
∵f(2＋d)－f(2)＝(2＋d)3＋－×23－
＝4d＋2d2＋d3，
∴＝＝4＋2d＋d2，
当d趋于0时，趋于4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率为k＝4，
切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
求曲线的切线方程时，应注意以下两点：
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先利用，当d趋于0时，求得切线的斜率，
然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，利用斜率建立等式求出切点坐标，进而求得切线方程．
2．求曲线y＝在点处的切线的斜率，并写出切线方程．
解：∵y＝，
∴f －f ＝－2＝－2＝，
∴＝.
当d趋于0时， 趋于－4，
∴切线的斜率为－4，
∴切线方程为y－2＝－4，
即4x＋y－4＝0.
设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围为，求点P横坐标的取值范围．
[巧思]　曲线C在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围为，即切线的斜率k∈[0,1]，故曲线C在P点处的导数的取值范围为[0,1]．
[妙解]　设点P(x0，y0)，则
＝
＝2x0＋2＋d，当d趋于0时，上式趋于2x0＋2.
∵θ∈，∴0≤tan θ≤1.
即0≤2x0＋2≤1.
解得－1≤x0≤－.
∴点P横坐标的取值范围是.
1．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的增量Δy＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝.
答案：B
2．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则时间t＝1时的瞬时速度为(　　)
A．4 B．6
C．24 D．48
解析：s(1＋d)－s(1)＝2(1＋d)3－2
＝2d3＋6d2＋6d，
∴＝2d2＋6d＋6.
当d趋于0时，2d2＋6d＋6趋于6，
即t＝1时的瞬时速度为6.
答案：B
3．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
解析：选C　由题意，f(1＋d)－f(1)＝－＋2.
则＝，
当d趋于0时， 趋于2，所以切线斜率为2，所以直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.
4．曲线f(x)＝x2在x＝0处的切线方程为________．
解析：＝＝d，当d趋于0时，趋于0，∴切线的斜率为0，即切线方程为y＝0.
答案：y＝0
5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：设t＝x时的瞬时速度为1，
s(x＋d)－s(x)＝7(x＋d)2＋8－7x2－8＝7d2＋14xd，
当d趋于0时， 趋于1，
即14x＝1，则x＝.
答案：
6．求曲线f(x)＝x＋在点A处的切线的斜率．
解：f(2＋d)－f(2)＝－
＝－
＝，
∴＝.
当d趋于0时，趋于，即切线的斜率为.
一、选择题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加(　　)
A．8πR·ΔR　　　　　　　 　B．8πR·ΔR＋4π(ΔR)2
C．4πR·ΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
解析：Δs＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR·ΔR＋4π(ΔR)2.
答案：B
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：＝＝8＋2d，
当d趋于0时，8＋2d趋于8.
∴切线的斜率为8.
答案：C
3．曲线y＝x2－x在点(1,0)处的切线倾斜角为(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
解析：＝＝1＋d，
当d趋于0时，1＋d趋于1.
∴切线的斜率为1.
即tan α＝1.
∴α＝45°.
答案：A
4．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，则这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度为(　　)
A．10 B．28
C．21 D．18
解析：f(3＋d)－f(3)＝3d2＋18d，
∴＝3d＋18.
∴当d趋于0时，3d＋18趋于18.
∴在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s.
答案：D
二、填空题
5．如果质点M按照规律s＝t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
解析：＝＝＝d＋6，
∴当d趋于0时，d＋6趋于6，即在t＝3时的瞬时速度应为6.
答案：6
6．曲线f(x)＝2x－在x＝1处的切线的斜率为________．
解析：因为f(1＋d)－f(1)
＝2(1＋d)－－
＝2d＋1－＝2d＋，
所以＝＝2＋，
所以当d趋于0时，趋于3，所以切线斜率为3.
答案：3
7．若函数f(x)＝ax＋2在(1，a＋2)处的切线的斜率为3，则a＝________.
解析：＝＝a，
∴a＝3.
答案：3
8．函数f(x)＝x2＋2x在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：＝＝＝d＋4，当d趋于0时，d＋4趋于4，
∴切线的斜率为4.
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.
答案：4x－y－1＝0
三、解答题
9．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：s(2＋d)－s(2)＝a(2＋d)2－4a＝4ad＋ad2.
∴＝4a＋ad.
当d趋于0时，4a＋ad趋于4a.∴4a＝8，即a＝2.
10．求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
解：易证得点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋2x－1上．
f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)3＋2(1＋d)－1－2
＝d3＋3d2＋5d，
∴＝＝d2＋3d＋5.
当d趋于0时，d2＋3d＋5趋于5.
∴切线的斜率为5.
∴切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
3．1.3　导数的概念和几何意义
[读教材·填要点]
1．函数f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：设函数f(x) 在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)．
(2)符号表示：→f′(x0)(d→0)，这个表达式读作“d趋于0时趋于f′(x0)”．
2．导函数
注意到x0是f(x)的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数．(也叫一阶导数)
[小问题·大思维]
1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与d有关吗？
提示：导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量d之比的极限，它是一个局部性的概念，即d→0时，f′(x0)存在表示的是一个常数，与d无关．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是什么？
提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
3．f′(x0)与f′(x)的区别是什么？
提示：f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，d无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与d无关．
求平均变化率
求函数y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋d]上的平均变化率，并求当x0＝1，d＝时平均变化率的值．
[自主解答]　函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋d]上的平均变化率为：
＝
＝4x0＋2d.
∴当x0＝1，d＝时，平均变化率为4×1＋2×＝4.5.
求平均变化率的主要步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量d＝x1－x0.
(3)得平均变化率＝.
1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．
解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝.
自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝.由于＜，
所以函数f(x)＝x＋在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．
求函数在某一点处的导数
求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
[自主解答]　法一：f(3＋d)－f(3)＝2(3＋d)2＋4(3＋d)－(2×32＋4×3)＝2d2＋16d，
∴＝2d＋16.
当d→0时，2d＋16→16，即f′(3)＝16.
法二：
＝
＝＝4x＋4＋2d，
∴当d→0，f′(x)＝4x＋4.
∴f′(3)＝4×3＋4＝16.
在本例中，若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
解：
＝
＝
＝4x0＋2d＋4，
∴当d→0时，f′(x0)＝4x0＋4.
由4x0＋4＝8，得x0＝1.
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋d)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)．
2．求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：f(1＋d)－f(1)＝－(1－1)
＝d＋，
∴＝1＋，
当d→0时，f′(1)＝1＋1＝2.
导数的实际意义
一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
[自主解答]　根据导数的定义，得
＝＝＝3.
∴f′(2)＝3.
f′(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况， 导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
3．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)
与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
解：烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)，
＝－4.9－4.9d.
当d→0时，－4.9－4.9d→－4.9，
∴h′(2)＝－4.9，
即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，到达最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
已知函数f(x)＝，求f′(1)·f′(－1)的值．
[巧思]　先根据导数的定义，分别求出f′(1)和f′(－1)的值，然后求f′(1)·f′(－1)的值．
[妙解]　当x＝1时，＝＝，
当d→0时，→，
∴f′(1)＝.
当x＝－1时，
＝.
＝d－2.
当d→0时，d－2→－2，
即f′(－1)＝－2.
∴f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)
A．2.1　　　　　　　 　B．1.1
C．2 D．0
解析：＝＝2.1.
答案：A
2．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2＋d
C．2 D．1
解析：＝＝d＋2.
当d→0时，d＋2→2，
∴函数y＝x2在x＝1处的导数为2.
答案：C
3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
解析：f′(x0)＝0的几何意义为在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为0，因此切线应为与x轴平行或重合的直线．
答案：B
4.如图是函数y＝f(x)的图象．
(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝.(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝2.
答案：(1)　(2)2
5．已知曲线f(x)＝x3在点(2,8)处的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为________．
解析：∵曲线f(x)＝x3在点(2,8)处的切线方程为12x－ay－16＝0，
∴点(2,8)在直线12x－ay－16＝0上．
∴24－8a－16＝0，∴a＝1.
答案：1
6．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解：(1)Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－(3×22＋2×2＋1)
＝14Δt＋3Δt2，
＝＝14＋3Δt，
当Δt＝1时，＝17；当Δt＝0.1时，＝14.3；
当Δt＝0.01时，＝14.03.
(2)由(1)知，＝14＋3d.
∴当d→0时，14＋3d→14，即s′(2)＝14.
∴当t＝2时的瞬时速度为14.
一、选择题
1．函数y＝x2在x0到x0＋d之间的平均变化率为k1，在x0－d到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2　　　　　 　B．k1C．k1＝k2 D．不确定
解析：k1＝＝＝2x0＋d；
k2＝＝＝2x0－d.
∵d可正也可负，∴k1与k2的大小关系不确定．
答案：D
2．函数f(x)于x0处存在导数，则当d→0时(　　)
A．与x0，d都有关
B．仅与x0有关，而与d无关
C．仅与d有关，而与x0无关
D．与x0，d均无关
解析：当d→0时，只与x0有关，而与d无关．
答案：B
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以选A.
答案：A
4.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定
解析：设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
答案：B
二、填空题
5．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋d)内的平均速度等于________(g＝10 m/s2)．
解析：Δs＝g×(3＋d)2－g×32＝×10×[6d＋d2]＝30d＋5d2，＝＝30＋5d.
答案：30＋5d
6．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的范围是________．
解析：已知f′(x0)＞0，设切线的倾斜角为α，则tan α＞0.又α∈[0，π)，所以α∈.
答案：
7.函数f(x)的图象如图所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，的大小关系为________．
解析：设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．
则＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ答案：08．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由切线方程得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
三、解答题
9．函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2附近的变化情况．
解：当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)>0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增．
同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，
但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x＝x1附近比在x＝x2附近上升得缓慢．
10．已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
解：设切点坐标为(x0，y0)，则
＝＝4x0＋2d.
当d→0时，4x0＋2d→4x0，
∴f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，
得x0＝1.该点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，
该点为(2,9)．