2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 3．2 导数的运算

3．2导数的运算
[读教材·填要点]
1．一些基本的初等函数导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α≠0)
f′(x)＝αxα－1(α≠0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a(a>0，a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝(x>0)
f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，a≠1，x>0)
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝tan x
f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)；
(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)′＝－(f(x)≠0)；
(5)′＝(f(x)≠0)．
[小问题·大思维]
1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax、f(x)＝ex与f(x)＝ax的导数公式之间各有什么内在联系？
提示：f(x)＝ln x的导数是函数f(x)＝logax的导数的特例；f(x)＝ex的导数是函数f(x)＝ax的导数的特例，即a＝e时，函数f(x)＝logax的导数就是f(x)＝ln x的导数，函数f(x)＝ax的导数就是f(x)＝ex的导数．
2．下列关系式成立吗？
(1)(af(x)＋bg(x))′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数；
(2)′＝－(f(x)≠0)；
(3)(u(x)±v(x)±…±w(x))′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
提示：由导数的运算法则知，这三个关系式都成立．
求函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝lg x－；(4)y＝；
(5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
[自主解答]　(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′
＝(3x2)′＋(xcos x)′
＝6x＋cos x－sin x·x.
(3)y′＝′＝(lg x)′－′
＝＋.
(4)法一：y′＝′
＝
＝＝.
法二：∵y＝＝
＝1－.
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(5)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′＝
＝＝.
与切线有关的综合问题
(1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.
(2)若曲线y＝xln x上在点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
[自主解答]　(1)由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知
即解得b＝0，c＝1.
(2)设P(x0，y0)，∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0，又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e，∴点P的坐标是(e，e)．
[答案]　(1)0　1　(2)(e，e)
试求本例(2)中过曲线y＝xln x上一点与直线y＝－x平行的切线方程．
解：设切点为(x1，y1)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率为k＝ln x1＋1，
又k＝－1，得x1＝，y1＝－，
故所求的切线方程为y＋＝－，
即e2x＋e2y＋1＝0.
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
2．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP的面积最大．
[解]　法一：因为|AB|为定值，所以要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可，设P(x，y)．由图知，点P在x轴下方的图象上，
所以y＝－2，所以y′＝－ .
因为kAB＝－，
所以－＝－，x＝4.
由y2＝4x(y<0)，得y＝－4，
所以P(4，－4)．
法二：设P，因为|AB|为定值，所以要使△PAB的面积最大，只要使点P到直线AB：x＋2y－4＝0的距离最大即可，设点P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
联立方程组
消去x，得y2＋8y－16＝0，
故y0∈(－4－4，4－4)．
当y0＝－4时，d最大，
此时△PAB的面积最大，
所以P点坐标为(4，－4)．
1．函数y＝x(x2＋1)的导数是(　　)
A．x2＋1　　　　　　　 　B．3x2
C．3x2＋1 D．3x2＋x
解析：y＝x(x2＋1)＝x3＋x，
∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
答案：C
2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝4，则α等于(　　)
A．3 B．－3
C．4 D．－4
解析：∵f(x)＝xα，∴f(x)′＝αxα－1，
∴α(－1)α－1＝4，∴α＝－4.
答案：D
3．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x=1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.
答案：A
4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x=1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
5．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcos x，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f′＝πa＋＝，得a＝0.
答案：0　－1
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1.①　
∵y′＝2ax＋b，∴y′|x=2＝4a＋b＝1.②　
又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1.③　
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
A卷
一、选择题
1．若y＝2x3＋＋cos x，则y′等于(　　)
A．6x2＋x－sin x　　　 　B．2x2＋x－sin x
C．6x2＋x＋sin x D．6x2＋x－sin x
解析：y′＝(2x3)′＋()′＋(cos x)′
＝6x2＋x－sin x.
答案：D
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析：因为f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋1，所以f′(x0)＝ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，即x0＝e.
答案：B
3．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.
答案：C
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
二、填空题
5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，
又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，
所以f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
答案：－2
6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝x2·f′(2)＋5x，则f′(2)＝________.
解析：f′(x)＝2x·f′(2)＋5，
∴f′(2)＝4f′(2)＋5.
∴f′(2)＝－.
答案：－
8．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2＋，
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解．
∴3a＝－.而x>0，∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x；
(2)y＝(1＋sin x)(1－2x)；
(3)y＝.
解：(1)y′＝′＝3x2－.
(2)y′＝[(1＋sin x)(1－2x)]′
＝(1＋sin x)′(1－2x)＋(1＋sin x)(1－2x)′
＝cos x(1－2x)＋(1＋sin x)(－2)
＝－2sin x－2xcos x＋cos x－2.
(3)y′＝′
＝
＝
＝＝.
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)y′＝2x＋1.
直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则直线l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组
得
所以直线l1和l2的交点的坐标为.
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，.
所以所求三角形的面积
S＝××＝.
B卷
一、选择题
1．函数y＝sin x(cos x＋1)的导数是(　　)
A．cos 2x－cos x　　　　　 　B．cos 2x＋sin x
C．cos 2x＋cos x D．cos2x＋cos x
解析：y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x＋1)′
＝cos x(cos x＋1)＋sin x(－sin x)
＝cos 2x＋cos x，故选C.
答案：C
2．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝(　　)
A．2 B．ln 3
C. D．－ln 3
解析：f′(x)＝axln a，由f′(1)＝aln a＝ln 27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln 3，
故f′(－1)＝.
答案：C
3．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是(　　)
A．4 B．2
C．16 D．8
解析：∵y′＝，
∴切线方程为y－＝(x－a)．
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
答案：A
4．若y＝x2·4x，则y′＝(　　)
A．x2·4x＋2x B．(2x＋x2)·4x
C．(2x＋x2ln 4)·4x D．(x＋x2)·4x
解析：y′＝(x2)′·4x＋x2(4x)′
＝2x·4x＋x2·4xln 4＝(2x＋x2ln 4)·4x，故选C.
答案：C
5．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
答案：D
6．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：因为点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，所以该点处切线的斜率为k＝y′|x=1＝(3x2－6x)|x=1＝3－6＝－3，
∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.
答案：B
二、填空题
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
9．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.
答案：1
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝－ln x；　　(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；　　　(4)y＝.
解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝＝.
(4)y′＝＝.
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
12．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
解：(1)f′(x)＝a－，
于是
解得或
因为a，b∈Z，故
即f(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，
f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，
过点的切线方程为y－＝(x－3)，
即3x－4y＋5＝0.
切线与直线x＝1的交点为(1,2)，
切线与直线y＝x的交点为(5,5)，
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.