2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 3．3.1 利用导数研究函数的单调性

3．3导数在研究函数中的应用
3．3.1　利用导数研究函数的单调性
[读教材·填要点]
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导函数的正负
函数在(a，b)上的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
[小问题·大思维]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．
2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．
判断(或证明)函数的单调性
证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．
[自主解答]　f′(x)＝＝.
∵0∴ln x0.
∴f′(x)＝>0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
[注意]　如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．
1．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
证明：由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，
即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，
即f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)内是减函数.
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝.
[自主解答]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0.
由f′(x)>0得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得0所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，来确定函数的单调区间．
(2)当单调区间有多个时，不要写成并集．
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋；(2)f(x)＝＋cos x.
解：(1)f′(x)＝3x2－＝3.
由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1；
由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)函数的定义域为R，其导数为f′(x)＝－sin x，
令－sin x>0，解得2kπ－令－sin x<0，
解得2kπ＋因此f(x)在(k∈Z)上为减函数，
在(k∈Z)上为增函数．
已知函数的单调性求参数范围
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0，
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[自主解答]　因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)max.
而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈.
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝.
∵x∈[1,4]，∴h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
若将本例中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a的取值范围？
解：∵h(x)在[1,4]上单调递增，
∴x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≥0恒成立．
即a≤ －恒成立．
设G(x)＝－，
∴只需a≤G(x)min.
又G(x)＝2－1，
∵x∈[1,4]，
∴∈.
∴G(x)min＝－1.∴a≤－1.
经验证：a＝－1时，h(x)在[1,4]上单调递增，
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f′(x)为二次函数，可以由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立求出参数的取值范围．
3．设f(x)＝，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：对f(x)求导得f′(x)＝ex ，①
若f(x)为R上的单调函数，
则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，
由此并结合a>0，知0所以a的取值范围为(0,1]．
证明：方程x－sin x＝0有唯一解．
[巧思]　方程f(x)＝0的解即曲线y＝f(x)与x轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．
[妙解]　设f(x)＝x－sin x，
当x＝0时，f(0)＝0，
所以x＝0是方程x－sin x＝0的一个解．
因为f′(x)＝1－cos x，
当x∈R时，f′(x)>0总成立，
所以函数f(x)在R上单调递增．
所以曲线f(x)＝x－sin x与x轴只有一个交点．
所以方程x－sin x＝0有唯一解．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝sin x　　　　　　　 　B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B　y′＝(xex)′＝ex＋xex
＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
2．函数y＝x·cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.
答案：B
3．已知函数f(x)＝x＋(x＞1)，则有(　　)
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A　因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
4．函数y＝2x＋sin x的单调递增区间是________．
解析：y′＝2＋cos x>0，∴函数在R上单调递增．
答案：(－∞，＋∞)
5．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是　　　　.
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
6．求函数f(x)＝x＋在(0,2]上的单调性．
解：∵f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－.
令f′(x)>0得x>1或x<－1，
又0令f′(x)<0，结合0∴函数f(x)在(1,2]上为增函数，在(0,1)上为减函数．
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)　　　　　　　 　B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．
由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
答案：D
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)
A．f(2)C．f(3)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案：A
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)
解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为单调增函数，在(0,2)上为单调减函数．
答案：C
4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
解析：由题知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，根据奇偶函数图象的特点知，当x<0时，f(x)的单调性与x>0时相同，g(x)的单调性与x>0时恰好相反，因此，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
答案：B
二、填空题
5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．
解析：y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，∴b≤2.
答案：(－∞，2]
6．已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
解析：f′(x)≤0的解集，即为函数y＝f(x)的单调减区间，
∴f′(x)≤0的解集为∪.
答案：∪
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调增区间是________，减区间是________．
解析：因为f(x)＝x(ex－1)－x2，
所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，
f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)
8．已知f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝x2－ax＋a－1，令g(x)＝f′(x)，要满足函数f(x)在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)单调递增，需有解得5≤a≤7.
答案：[5,7]
三、解答题
9．讨论下列函数的单调性：
(1)y＝x3－x；
(2)y＝ex＋e－x(x∈[0，＋∞))．
解：(1)∵y＝x3－x，
∴y′＝3x2－1＝3.
∵当x＜－或x＞时，y′＞0，
当－＜x＜时，y′＜0，
∴y＝x3－x在和上是增函数，在上是减函数．
(2)f′(x)＝(ex)′＋′＝ex＋＝ex－e－x＝，
∵当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，∴f′(x)≥0.
∴f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.