2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 3．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

3．3.3　三次函数的性质：单调区间和极值
[读教材·填要点]
设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：
(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．
①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；
②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．
(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.
①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；
②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．
(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.
可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．
②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在 (u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.
可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．
[小问题·大思维]
1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？
提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．
2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？
提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．
三次函数的单调性和极值
求下列函数的单调区间和极值．
(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；
(2)y＝－x3＋12x＋6.
[自主解答]　(1)函数的定义域为R.
y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，
令y′＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
极大值57
?
极小值－7
?
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；单调减区间为(－3,1)．
当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.
(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，
令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小值－10
?
极大值22
?
∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；
单调增区间为(－2,2)．
当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.
(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．
1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．
解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，
令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，
解得x1＝x2＝.
当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：
x



y′
＋
0
＋
y
?
不是极值
?
所以此函数无极值．
求函数的最值
求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x3＋x2＋x＋1，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
[自主解答]　(1)f′(x)＝－3x2＋2x＋1，
令f′(x)＝－(3x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－或x＝1.
当x变化时f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3

－

1
(1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
34
?
极小值

?
极大
值2
?
－1
∴当x＝2时，f(x)取最小值－1；
当x＝－3时，f(x)取最大值34.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0，且x0∈[a，b]；
(3)求最值，有两种方式：①是将f(x0)的值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值；
②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．
2．求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
解：f′(x)＝12x2＋6x－36＝6(2x2＋x－6)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
又f(－2)＝57，f＝－，f(2)＝－23，
∴函数f(x)的最大值为57，最小值为－.
三次函数性质的综合应用
设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
[自主解答]　(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a＞0，得a＞－.
所以，当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，
即f(4)＜f(1)．
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
(1)f(x)在区间I上为增函数?f′(x)≥0在区间I上恒成立，f(x)在区间I上为减函数?f′(x)≤0在区间I上恒成立．
(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2



1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－2时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若x∈[－3,2]时都有f(x)>2c－恒成立，求c的取值范围．
[巧思]　解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)>g(x)(f(x)0(F(x)＝f(x)－g(x)<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值．
[妙解]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意，得即
解得
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋3x－6.
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
＋c
?
极大值
c＋10
?
极小值
c－
?
2＋c
∴f(x)在[－3,2]上的最小值为c－.
即2c－∴c<－3，
∴c的取值范围为(－∞，－3)．
1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是(　　)
A．①③　　　　　　　 　B．③④
C．②③④ D．②④
解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确．
答案：B
2．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间为(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)，(2，＋∞)
解析：f′(x)＝6x2－18x＋12，
令f′(x)＜0，得1＜x＜2.
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
答案：D
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
5．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)是R上的增函数，则a，b，c的关系式为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立，则从而解得a>0，且b2≤3ac.
答案：a>0且b2≤3ac
6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
?
极大值a
?
－8＋a
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.
故x＝0时，f(x)最大值是3.
一、选择题
1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．
答案：D
2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　 　B．5
C．12 D．－15
解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，
∴x＝1或x＝－1.
当－1当x>1或x<－1时，y′>0，
∴y极小值＝1，y极大值＝5.
又当x＝－3时，y＝－15；
当x＝3时，y＝21，∴ymin＝－15.
答案：D
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案：B
二、填空题
5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
令f′(x)<0，得－1∴f(x)的单调递减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
6．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m，∵f(x)在R上是单调函数，
∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
答案：
7．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．
解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴Δ＝4a2＋96b>0，又x＝1是极值点，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.
ab≤＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，
∴ab的最大值为9.
答案：9
8．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，对任意x∈[－1,2]都有f(x)>m，则实数m的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝3x2－x－2＝0，得x＝－或x＝1，
由题意知只要f(x)min>m即可，
易知f(x)min＝f(1)＝，所以m<.
答案：
三、解答题
9．求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；
(2)f(x)＝x2－(x<0)．
解：(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
?
极小值
?
极大值
?
－18
所以x＝1和x＝－1是函数f(x)在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的函数值为f(－)＝0，
f(3)＝－18，
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若x∈[－1,2]，不等式f(x)解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
所以函数f(x)的递增区间为和(1，＋∞)；
递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f ＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，
所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．