2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 3．4 生活中的优化问题举例

3．4生活中的优化问题举例
[读教材·填要点]
1．优化问题
投入一定的成本如何获取最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题．
2．解决优化问题的基本思路
[小问题·大思维]
　将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？
提示：设一个数为x，则另一个数为8－x，
则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2，
且0≤x≤8，
y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，得x＝4.
当0≤x<4时y′<0，当40，
∴当x＝4时，y最小．
即分成的这两个数应为4,4.
用料最省、费用最低问题
如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
[自主解答]　(1)设长为x m，则宽为 m．
据题意
解得≤x≤16，
y＝×400＋×248＋16 000
＝800x＋＋16 000，
(2)y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16.
∴当x＝16时，ymin＝45 000.
∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元.
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y为减函数；
v∈(16，v0]，y′＞0，即y为增函数，
故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数，
故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元.
利润最大、效率最高问题
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为：R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[自主解答]　依题意，每月生产x吨时的利润为：
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24 000，
令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内有意义，则有且只有当x＝200时f′(x)＝0，且它就是最大值点，最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.
故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．
2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为y＝3 240×，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5 000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x)
＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)
＝－1 800x2＋1 500x＋15 000(0＜x＜1)．
(2)本年度的年利润为
f(x)＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240×(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当0＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜1时f′(x)＜0，
所以x＝时，f(x)有最大值f ＝20 000.
所以当x＝时，本年度的年利润最大，
最大年利润为20 000万元.
面积、容积的最值问题
请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[自主解答]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，
V′＝6x(20－x).
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
3.已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
答案：
4.如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
解：设AD＝2x(0＜x＜2)，
则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，
所以矩形面积为S＝2x(4－x2)(0＜x＜2)，
即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，
令S′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．
当0＜x＜时，S′＞0；
当＜x＜2时，S′＜0，
所以，当x＝时，S取得最大值，此时S最大值＝.
即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大.
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
[巧思]　可通过建立恰当的直角坐标系，列出面积S关于x的函数解析式，然后利用导数的知识，借助函数的单调性，即可求得面积S的最大值．
[妙解]　(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x2＋＝1，且x>0，y>0，
∴y＝2(0∴S＝(2x＋2)·2＝2(x＋1) (0(2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)．
当00，f(x)为增函数；
当∴f 是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，
且f ＝，此时S＝.
故当x＝时，S取得最大值.
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150　　　　　　　 　B．200
C．250 D．300
解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000,0≤x≤390，则P′(x)＝－＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300答案：D
2．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，则V＝x2h，
∴S＝2×x2＋3xh＝x2＋.
由S′＝x－＝＝0得，x＝.
当0＜x＜时，S′＜0，当x＞时，S′＞0，
∴x＝时，S最小．
答案：C
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)
A．100 B．150
C．200 D．300
解析：由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；
当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
答案：D
4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．
解析：设高为x米，则V＝x(x＋0.5)
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0,1.6)，
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令V′＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．
当00，当1答案：1
5．做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
解析：用料最省，即水桶的表面积最小．
设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，
则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－，
令S′＝0，解得r＝3.
当03时，S′>0，
所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，
即用料最省．
答案：3
6．某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
解：设场地宽为x m，则长为 m，
因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.
即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省．
一、选择题
1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件　　　　　　　 　B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x∈(9，＋∞)时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
答案：C
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为(　　)
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·
＝4π·r·r＝2πr2.
答案：A
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为(　　)
A．110元 B．115元
C．120元 D．125元
解析：设每件商品定价x元，依题意可得
利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(0S′(x)＝－2x＋230，令－2x＋230＝0，得x＝115.
因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．
答案：B
4．某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x月的销售量f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，1≤x≤12)，该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)＝150＋2x(x∈N＋，1≤x≤12)，该商品每件的售价为185元，若不考虑其它因素，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是(　　)
A．3 120元 B．3 125元
C．2 417元 D．2 416元
解析：该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)
＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N＋，1≤x≤12)，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400.
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)＞0；当5＜x≤12时，g′(x)＜0，
∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(元)．
所以5月份的月利润最大是3 125元．
答案：B
二、填空题
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6
7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为______．
解析：设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．
答案：R
8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，
所以p2＝，p＝，x>0.
设总利润为y万元，
则y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 200.
求导数得，y′＝－x2.
令y′＝0得x＝25.
故当00；当x>25时，y′<0.
因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．
答案：25
三、解答题
9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．
解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.
则S(x)＝(x－6)＝2 424－
＝2 424－4，x∈(6,600)．
∴S′(x)＝－4＝.
令S′(x)＞0，得6＜x＜60；令S′(x)＜0，得60＜x＜600.
∴S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，
∴当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，
∴S(x)max＝S(60)＝1 944.
∴当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2.
10．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．
如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
解：(1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元．
销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%.
∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费
＝(32Q＋3－x)＝
＝(x≥0)．
∴所求的函数关系式为
y＝(x≥0)．
当x＝100时，y＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．
(2)由y＝(x≥0)可得
y′＝
＝.
令y′＝0，则x2＋2x－63＝0.
∴x＝－9(舍去)或x＝7.
∵当0＜x＜7，y′＞0；当x＞7，y′＜0，
∴当x＝7时，y有最大值．
即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．