2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第3章 章末小结

1．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线，是以P为切点的切线，其方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数的单调性与导数
(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．
(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．
3．函数的极值与导数
(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．
(2)对可导函数f(x)来说，“x0是f(x)的极值点”的充要条件是“f′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号”，而不仅仅是f′(x0)＝0.
4．函数的最值与导数
函数的最值是函数在指定区间上的整体性质．闭区间上的连续函数(图象连续不断)必有最值，求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．
导数几何意义的应用
[例1]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
1．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，
代入函数解析式可得极值点的坐标为，
又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－.
答案：y＝－
2．求过点P(2,0)的曲线y＝的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：易知点P不在曲线上，设切点M(x0，y0)，则y0＝.切线的斜率k＝＝.
由导数的几何意义知k＝y′|x＝x0＝－.
∴－＝，解得x0＝1.
∴M(1,1)，k＝y′|x=1＝－1.
故切线方程为x＋y－2＝0.
切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0,2)．
∴切线与两坐标轴围成三角形的面积S＝×2×2＝2.
导数与函数的单调性
[例2]　已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
[解]　当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
f′(x)＝(－x2＋2)ex.
当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，
故a≥，所以a的取值范围为.
(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集．
(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．
3．已知函数f(x)＝x(x－2)2(x∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝x3－4x2＋4x，
f′(x)＝3x2－8x＋4，
令f′(x)＝0得3x2－8x＋4＝0.
∴x＝或x＝2.
∴当x∈或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)的单调递增区间为和[2，＋∞)；
当x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)的单调递减区间为.
4．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．
解：对函数f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋6x－1.
要满足函数f(x)在R上是减函数，
需有对于任意的x∈R，都有f′(x)≤0成立，
∴解得a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3].
导数与函数的极值(最值)及恒成立问题
[例3]　已知函数f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x2＋x)．
(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)F(x)＝ln x＋2x－x2－x，其定义域是(0，＋∞)，则F′(x)＝＋2－x－＝－.
令F′(x)＝0，得x＝2，x＝－(舍去)．
当00，函数单调递增；
当x>2时，F′(x)<0，函数单调递减．
即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，
则F′(x)＝－.
当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立；
当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝，x＝－(舍去)．
当00，函数单调递增；
当x>时，F′(x)<0，函数单调递减．
故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F，
依题意F≤0恒成立，即ln ＋－1≤0.
令g(a)＝ln ＋－1，又g(x)单调递减，且g(1)＝0，故ln ＋－1≤0成立的充要条件是a≥1，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
一般地，若已知函数f(x)在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．
5．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　　　　 　B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1
＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.
因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，
所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.
令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，
令f′(x)<0，解得－2所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.
答案：A
6．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)解：∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝4＋8c又f(3)＝9＋8c>f(1)，f(0)＝8c∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
导数与不等式问题
[例4]　(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0.
设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
7．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.
解：(1)f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)＞0，得解得0＜x＜.
故f(x)的单调递增区间是.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)，
则有F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，
即当x＞1时，f(x)＜x－1.
导数与实际应用问题
[例5]　统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0[解]　当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
所以当x＝80时，h(x)取到最小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．
故以80千米/小时匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；实际问题中的自变量有一定的限制范围，因此根据题意写出定义域是重要的一个环节．在求最值时，若定义域内只有一个极值点，则通常该极值点就是最值点．
8．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N＋)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
解：(1)∵y＝4 000x－2 000x
＝3 600x－x3，
∴所求的函数关系式是
y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)．
(2)显然y′＝3 600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.
∴当1≤x<30时，y′>0；当30∴函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)在[1,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减．
∴当x＝30时，函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大值，
最大值为－×303＋3 600×30＝72 000(元)．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．