2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：阶段质量检测（二）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．1 B．
C．3 D．4
解析：焦点(±2,0)，渐近线y＝±x，
焦点到渐近线的距离为＝.
答案：B
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　 　B．(1,2)
C. D．(0,1)
解析：由x2＋ky2＝2，得＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴＞2，即0＜k＜1.
答案：D
3．若抛物线x2＝2ay的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，
∴＝－1，即a＝－2.
答案：A
4．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
答案：C
5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
答案：B
6．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
解析：由题意知，3＋6a＝5，∴a＝，
∴抛物线方程为y2＝8x.
答案：A
7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.
答案：D
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为(　　)
A．(1,0) B．(2,2)
C．(3,2) D．(2,4)
解析：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y得(x－1)2＝4x，
即x2－6x＋1＝0.因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2.所以线段AB的中点坐标是(3,2)．
答案：C
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，
∴在直角三角形OEF中，|EF|＝ .
又＝(＋)，
∴E是PF的中点．∴|PF|＝2，|PM|＝a.
又|PF|－|PM|＝2a，∴2－a＝2a.
∴离心率e＝＝.
答案：A
10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
答案：D
11．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.
12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝. ①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝. ②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＝|AB|＝6，则|F2B|＝________.
解析：由椭圆定义知|F1A|＋|F2A|＝|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，所以|F1A|＝10－|F2A|＝4，|F1B|＝|AB|－|F1A|＝2，故|F2B|＝10－|F1B|＝8.
答案：8
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(4,0)，故在双曲线中c＝4，因为双曲线的渐近线方程是y＝±x，
所以＝，即b＝a，
由a2＋b2＝c2得a2＝4，进而求得b2＝12，
故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：－＝1
15．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
解析：设抛物线焦点为F，则|PM|＝|PF|－，
∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－.∴当且仅当A，P，F共线时|PA|＋|PF|取最小值为|AF|＝5，
∴|PA|＋|PM|的最小值为.
答案：
16．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－，则动点P的轨迹方程为____________．
解析：∵x2－y2＝1，∴c＝.
设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a>0)，2a>2c＝2，
∴a>.
由余弦定理有
cos∠F1PF2＝
＝
＝－1，
∵|PF1||PF2|≤2＝a2，
∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时 ，
|PF1||PF2|取得最大值a2.
此时cos∠F1PF2取得最小值－1.
由题意－1＝－，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝3－2＝1.
∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，求弦AB的长．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
?x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.
∴|AB|＝|x1－x2|＝＝8，故弦AB的长为8.
18．(本小题满分12分)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.
又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则两式相减，
得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2,1)为AB的中点，所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，
即kAB＝＝6.
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，
即6x－y－11＝0.
19．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．射线PO交椭圆E于点Q，求的值．
解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
20．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解：(1)∵椭圆＋＝1的一个顶点为A(0,1)，
∴b＝1.
又离心率e＝＝＝，
∴a2＝2.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2.
由消去y，得9x2＋16x＋6＝0，
∴Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
所以p＝2.
故所求抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
设其方程为y＝－2x＋t，
由消去x，得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与l的距离d＝可得＝，
解得t＝±1.
因为－1?，1∈，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点F1(－，0)和F2(，0)，长轴长为4，设直线y＝x＋m交椭圆C于A，B两个不同的点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若m＝2，求弦AB的长；
(3)求m 的取值范围．
解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(－，0)和F2(，0)，长轴长为4，
∴设所求椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)，
则依题意有a＝2，c＝，
∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)若m＝2，则直线方程为y＝x＋2，
联立
消去y得3x2＋8x＋4＝0，
设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则由根与系数的关系有
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以由弦长公式得，
|AB|＝
＝·＝.
(3)设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
联立
消去y得3x2＋4mx＋2m2－4＝0(*)
∵直线与椭圆相交于不同的两点，
∴方程(*)有两相异的实根．
∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－4)>0.
解得－即m的取值范围是(－，)．