2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：阶段质量检测（三）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为(　　)
A．1－cos 1　　　　　 　B．1＋cos 1
C．－1＋cos 1 D．－1－cos 1
解析：∵f′(x)＝cos x＋，∴f′(1)＝cos 1＋1.
答案：B
2．曲线y＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵y＝x3－x2＋5，∴y′＝x2－2x.
∴y′|x=1＝1－2＝－1.
∴tan θ＝－1，即θ＝.
答案：D
3．下列函数中在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．sin x B．xex
C．x3－x D．－x2
解析：∵(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
又∵x>0，∴(1＋x)ex>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
答案：B
4．设f′(x)是f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是(　　)
解析：选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象；D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都应为单调函数，故不可能．故选D.
答案：D
5．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是(　　)
A. 
B.
C. ，
D.，
解析：∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
答案：A
6．若函数f(x)＝x3＋ax2－9在x＝－2处取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax，且在x＝－2处取得极值．
∴f′(－2)＝0，即12－4a＝0，∴a＝3.
答案：B
7．已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
解析：∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，
∴即
且f′(1)＝3＋a＝k＝2，∴a＝－1，b＝3.
答案：A
8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是(　　)
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，由函数导数的正负，可判断在x＝2处，取得极小值f(2)＝－15，又f(0)＝5，f(3)＝－4，∴最大值，最小值分别是5，－15.
答案：A
9．已知f(x)＝x＋sin x，x∈，则导函数f′(x)是(　　)
A．仅有极小值的奇函数
B．仅有极小值的偶函数
C．仅有极大值的偶函数
D．既有极小值也有极大值的奇函数
解析：∵f′(x)＝＋cos x，x∈，
∴f′(x)是偶函数．
令h(x)＝＋cos x，
则h′(x)＝－sin x，x∈.
由h′(x)＝0，得x＝0.
又x∈时h′(x)>0；x∈时h′(x)<0，
∴x∈时h(x)即f′(x)仅有极大值．
答案：C
10.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　)
解析：由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
答案：D
11．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若aA．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(b)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
解析：xf′(x)＋f(x)≤0且f(x)≥0，
即xf′(x)≤－f(x)≤0.
因为′＝≤－≤0，
所以函数在(0，＋∞)上是减函数，
由0答案：A
12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x＜f(x)，且f(2)＝0，则＞0的解集为(　　)
A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．?
解析：∵′＝＜0，
∴在(0，＋∞)上为减函数．
又∵f(2)＝0，∴＝0.
∴＞0的解集为0＜x＜2，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
14．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为.则a的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝a(3x2－1)＝3a<0的解集为知，a>0.
答案：(0，＋∞)
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cos x≥0，故f(x)在上是增函数，∵>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c答案：c16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d的值．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，
得(2x＋1)2＋a(2x＋1)＋b＝4(x2＋cx＋d)，
即4x2＋(4＋2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d，
所以
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，即a＝c，③
由①③可得a＝c＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋b.
又f(5)＝30，即25＋10＋b＝30，解得b＝－5，
将a，b的值代入②得d＝－.
综上可得a＝2，b＝－5，c＝2，d＝－.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，若y＝f(x)图象上的点处的切线斜率为－4，求y＝f(x)在区间[－3,6]上的最值．
解：易得f′(x)＝x2＋2ax－b，
f′(1)＝－4，∴1＋2a－b＝－4.①
又∵点在f(x)的图象上，
∴＋a－b＝－，即a－b＋4＝0.②
由①②解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或3.
∴在x∈[－3,6]上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,3)
3
(3,6)
6
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－9
?
极大值

?
极小值
－9
?
18
∴当x∈[－3,6]时，f(x)max＝f(6)＝18，f(x)min＝f(3)＝f(－3)＝－9.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋(a>0)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋，
定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，
单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝(0则k＝f′(x0)＝≤(0即a≥max.
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，
所以a≥，所以a的最小值为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．
解：(1)由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3.
当f′(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减．
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)证明：设点P的坐标为(x0,0)，
则x0＝4，f′(x0)＝－12.
曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为
y＝f′(x0)(x－x0)，
即g(x)＝f′(x0)(x－x0)．
令函数F(x)＝f(x)－g(x)，
即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)，
则F′(x)＝f′(x)－f′(x0)．
由于f′(x)＝－4x3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，
故F′(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
又因为F′(x0)＝0，
所以当x∈(－∞，x0)时，F′(x)>0；
当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，
所以对于任意的实数x，F(x)≤F(x0)＝0，即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．
21．(本小题满分12分)某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)
解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，
由此获得的收益是g(x)(百万元)．
则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
所以g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；
当2所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大．
22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－ .
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2－b.
由题意知即
解得所以f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?

?
－
?
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，
f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，
则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，
所以－＜k＜.
所以实数k的取值范围为.