2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：阶段质量检测（一）

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“<”的否定是“≥”．故选D.
答案：D
2．命题“若x＝－1，则 x2＋3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．
又它的逆命题是：若x2＋3x＋2＝0，
则x＝－1，是假命题，
∴它的否命题也是假命题.
答案：B
3．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真　　　 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
解析：①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
答案：D
4．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p：?x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则(　　)
A．p是真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)<0
B．p是真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
C．p是假命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)<0
D．p是假命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
解析：由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，所以p为真命题，綈p：?x∈(0，＋∞)，f(x)≤0，故选B.
答案：B
5．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
答案：B
6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要条件．
答案：A
7．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“＋＝2”的(　　)
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a，b，c成等差数列时，
若b＝0，则＋＝2不成立，
反之当＋＝2，即＝2，
即a＋c＝2b时，b－a＝c－b，
所以a，b，c成等差数列．
答案：A
8．下列命题是真命题的是(　　)
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：D中，x＝2时，(x－2)(x－1)＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．
答案：D
9．命题甲：x,21－x,2x2成等比数列，命题乙：lg x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x,21－x,2x2成等比数列可得x＝－2或x＝1，由lg x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列可得x＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．
答案：B
10．设x∈R，则“1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：|x－2|<1?1由于{x|1所以“1答案：A
11．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，8)
C．(－∞，3]∪(8，＋∞) D．[3,8)
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围为[3,8)．
答案：D
12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：∵p，q都是真命题，∴①②③④均正确．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题为________．
解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
14．若“?x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：∵?x∈R，x2－2x－m>0是真命题，
∴Δ＝(－2)2＋4m<0恒成立．
∴m<－1.
答案：(－∞，－1)
15．设p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：当命题p为真时，由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1；当命题q为真时，可知a≤x≤a＋1，又綈p是綈q的必要不充分条件等价于p是q的充分不必要条件，所以? [a，a＋1]，a∈.
答案：
16．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)
解析：对①，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，即b≤0，∴b≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p∨q假时，p，q一定均假，∴④正确．故①③④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：3是素数，q：3是偶数；
(2)p：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．
解：(1)p或q：3是素数或3是偶数；
p且q：3是素数且3是偶数；
非p：3不是素数．
因为p真，q假，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题．
(2)p或q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解或x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
p且q：x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解且x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
非p：x＝－2不是方程x2＋x－2＝0的解．
因为p真，q真，所以“p或q”为真命题，“p且q”为真命题，“非p”为假命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈，2上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈，2时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在，2上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈0，∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k.
(1)求直线l1∥l2的充要条件；
(2)当x∈[－1,2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
解：(1)由题意得解得k＝2.
当k＝2时，l1：y＝x＋1，l2：y＝x－2，此时l1∥l2.
∴直线l1∥l2的充要条件为k＝2.
(2)设f(x)＝x＋1.由题意，得
即解得－1∴k的取值范围是(－1,2)．
21．(本小题满分12分)已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，求a的取值范围．
解：由y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0∵曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝(2a－3)2－4×1×1>0，解得a<或a>.
∴p真对应集合A＝{a|0q真对应集合B＝.
由于p∨q真，即p，q中至少有一个为真命题．
p真q假时，≤a<1；
p假q真时，a>或a≤0；
q真q真时，0综上得，a的取值范围为(－∞，1)∪.
22．(本小题满分12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈（，1）.
综上①②③可得a∈（，＋∞）.