2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：模块综合检测


(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0
B．存在x∈R,2x4－x2＋1<0
C．存在x∈R,2x4－x2＋1≥0
D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0
解析：该命题的否定是：存在x∈R,2x4－x2＋1≥0.
答案：C
2．已知p：2x－3<1，q：x(x－3)<0，则p是q的(　　)
A．必要不充分条件　　　 　B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵p：{x|x<2}，q：{x|0∴p q，q p.
答案：D
3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为(　　)
A．[0，π) B.∪
C.∪ D.∪
解析：f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为∪.
答案：B
4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为(　　)
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＜f(1)
C．f(－1)＞f(1) D．无法确定
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，
f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)＞f(1)．
答案：C
5．下列结论中，正确的为(　　)
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
解析：p∧q为真?p真q真?p∨q为真，故①正确，由綈p为假?p为真?p∨q为真，故③正确．
答案：B
6．已知命题p：x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<，则下列命题：
①p且q；②p或q；③綈p；④綈q，
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知p为真命题，q为假命题，故②④为真命题．
答案：B
7．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，其中m>0，n>0，
在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，mn＝2.
由双曲线定义，知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2.
∴a2＝4，∴b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：D
8．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
答案：A
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以方程f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞0，即4a2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.
答案：C
10．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
答案：A
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
解析：由抛物线的定义知|MF|＝4＋＝5，∴p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x，∴M(4，±4)．
又|OF|＝＝1，
∴S△OFM＝×1×4＝2.
答案：C
12．设f(x)，g(x)分别是定义域R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0.且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝f(x)g(x)，
则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
由已知可知，x＜0时，F′(x)＞0，
即F(x)在(－∞，0)上单调递增，
又∵f(x)，g(x)分别为奇函数和偶函数，
∴F(x)为奇函数，
∴F(－3)＝F(3)＝0.
∴f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．命题“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵?x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，
∴?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
14．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为________．
解析：双曲线的一条渐近线为y＝x，
由消去y得x2－x＋1＝0.
由题意，知Δ＝2－4＝0.
∴b2＝4a2，
又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋4a2＝5a2.
∴e＝＝.
答案：
15．点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
解析：(0,1)点在抛物线外，又抛物线y2＝4x焦点为(1,0)，易知，点(0,1)与点(1,0)间距离即为所求，为.
答案：
16．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以当x>0时，f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的左焦点，而且与x轴垂直，又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
解：设抛物线方程为：y2＝2px(p>0)，将点代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此得双曲线方程中：c＝1；焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差为2a＝1，所以双曲线的方程为－＝1.
18．(本小题满分12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1由
解得即2所以q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈q 綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|x≤2或x>3}，则A??B.
所以03，
即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
19．(本小题满分12分)过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
解：不妨过椭圆右焦点F(1,0)作直线l，当直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.
当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2分别是A，B的纵坐标)来计算，将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得
(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0，
由根与系数关系可得
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2
＝
＝2－<2，
所以|y1－y2|<.
此时△AOB的面积小于.
故当直线l垂直于x轴时，△AOB的面积最大，
由椭圆的对称性知，
当△AOB的面积最大时，
直线l的方程为x＝1或x＝－1.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，
最小值为f＝－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)当a＝1时，求函数f′(x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(1)当a＝1时，f′(x)＝2x＋≥2 ＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时等号成立，故函数f′(x)的最小值为4.
(2)f′(x)＝2x＋＝2.
①当a≥0时，f′(x)＞0，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；
②当a＜0时，f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
因此函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．且当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝－a＋2aln.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．
解：(1)由题意e＝，
即e＝＝，∴a＝2c.
∴b2＝a2－c2＝(2c)2－c2＝3c2.
∴椭圆C的方程可设为＋＝1.
代入A，得＋＝1，
解得c2＝1，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由方程组消去y，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由题意，得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，
整理得：3＋4k2－m2>0.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为 P(x0，y0)，
x0＝＝－，
y0＝kx0＋m＝.
由已知，MN⊥GP，
即kMN·kGP＝－1，
即k·＝－1，
整理得：m＝－.
代入①式，并整理得：k2>，
解得k>或k<－，
∴k的取值范围为∪.