2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第1章 章末小结

1．命题的概念及真假命题的判断
(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成．命题分为真命题和假命题．
(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)．
(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题．
3．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．
(2)判断方法：①定义法：分别寻找“p?q”“q?p”“p] q”“q p”中哪两个成立．
②命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假．
③集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“A?B”“B?A”“A＝B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件．
4．逻辑联结词
命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或q?P∪Q；p且q?P∩Q，非p??UP.
5．全称量词和存在量词
(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．
(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题．而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断．
命题及其关系
[例1]　给出下列命题．
①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4.
②函数y＝tan的图象关于点成中心对称．
③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．
④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)
[解析]　①∵|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，
∴cos〈a·b〉＝－.
∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确．
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tan x的图象的性质知，②正确．
③∵原命题的逆命题为“若a⊥b，则a·b＝0”为真，
∴其否命题也为真．∴③正确．
④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．
(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)
∴④正确．
[答案]　①②③④
判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．
1．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若a>b，则3a>3b”的逆命题
B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题
D．命题“若a>b，则<”的逆否命题
解析：对于A，逆命题是“若3a>3b，则a>b”，是真命题；对于B，否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1?x>1或x<－1；对于C，否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题，因为当x＝0时，x2－x＝0；对于D，逆否命题是“若≥，则a≤b”，是假命题，如a＝1，b＝－1.故选A.
答案：A
2．下列说法中错误的个数是(　　)
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”
②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
答案：C
充分条件、必要条件与充要条件
[例2]　(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5.
(2)法一：由<，得0<θ<，
故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二：<?0<θ<?sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
[答案]　(1)C　(2)A
本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．
[例3]　已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解]　p：x2－8x－20＞0?x＜－2或x＞10，
∵a＞0，
∴q：x＜1－a或x＞1＋a.
由题意p?q且pq，
应有或?0∴正实数a的取值范围为(0,3]．
将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．
3．“a>b>0”是“ab<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由基本不等式知当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，其中当a＝b时，等号成立．∴当a>b>0时，ab<，反之不成立．
答案：A
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．
答案：B
逻辑联结词
[例4]　已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
[解]　p真：Δ＝a2－4×4≥0，
∴a≤－4或a≥4.
q真：－≤3，
∴a≥－12.
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p，q两命题一真一假．
当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4.
综上，a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．
先求出命题p，q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．
5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真或p真q假，
即或∴1∴a的取值范围为(1,2].
全称量词和存在量词
[例5]　在下列四个命题中，真命题的个数是(　　)
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④?x，y∈Z，使3x－2y＝10.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　①中x2＋x＋3＝2＋≥＞0，
故①是真命题．
②中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②是真命题．
③中α＝，β＝－时，
sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．
④中x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故④是真命题．
[答案]　D
利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．
6．命题“?n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
B．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
C．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n
D．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n
解析：写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
答案：D
7．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，
则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，所以a≤1.
命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真，
则“4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，
则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
答案：(－∞，－2]∪{1}