2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系

第二课时　直线与椭圆的位置关系
[读教材·填要点]
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得一个一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
[小问题·大思维]
1．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是什么？
提示：∵点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，
∴＋<1，解得－即a的取值范围为(－，)．
2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？
提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．
3．直线(1)y＝x＋1；(2)y＝x＋；(3)y＝x＋2分别与椭圆＋y2＝1各有什么样的位置关系？
提示：(1)由得3x2＋4x＝0.
∵Δ＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．
(2)由得3x2＋4x＋4＝0.
∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0，
∴直线与椭圆相切．
(3)由得3x2＋8x＋6＝0.
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，
∴直线与椭圆相离．
直线与椭圆位置关系
对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[自主解答]　由
消去y，得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，
记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0.
1．k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
解：由消去y，得2x2＋3(kx＋2)2＝6，
即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
当Δ＝72k2－48>0，即k<－或k>时，
直线和曲线有两个公共点．
当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，
直线和曲线有一个公共点．
当Δ＝72k2－48<0时，即－直线和曲线没有公共点．
弦长问题
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
[自主解答]　∵a2＝4，b2＝1，
∴c＝＝.∴右焦点F(，0)．
∴直线l方程为y＝x－.
由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0.
设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝＝.
即弦AB的长为.
当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.
(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴|AB|＝，
＝＝ ·
＝·.
其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程求得．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为.求椭圆方程．
解：∵a＝2b，且焦点在x轴上，
∴设椭圆方程为＋＝1.
联立得5x2＋16x＋16－4b2＝0，
∴
∴|AB|＝
＝·|x1－x2|
＝· 
＝·＝.
∴5b2－4＝16.
∴b2＝4，即b＝2.
∴a＝2b＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
中点弦问题
已知椭圆＋y2＝1，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程．
[自主解答]　法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋－k.
由
得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－＝1，
解得k＝－.
∴直线方程为2x＋4y－3＝0.
法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，
则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
由得y－y＝－(x－x)，
∴＝－·＝－，
即k＝－，
∴直线方程为y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4.
又e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5.
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋m，若椭圆上总有两点P，Q关于直线l对称，求m的取值范围．
[妙解]　法一：(根与系数的关系)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y＝4x＋m对称的两个点，则kPQ＝－.
设PQ所在直线方程为y＝－＋b.
由消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.
∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)>0.
解得b2<.①
x1＋x2＝，x1x2＝.
设PQ中点为M(x，y)，则有
x＝＝，y＝－·＋b＝.
∵点M在直线y＝4x＋m上，
∴＝4·＋m.∴b＝－m.②
把②代入①，得：2<，
解得－故m的取值范围为.
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两点，
M(x，y)是PQ的中点．
则有两式相减，得
3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴＝－＝－kPQ.
∵kPQ＝－，
∴y＝3x.
由解得
∴M(－m，－3m)．
∵点M应在椭圆C的内部，
∴＋<1.
解得－故m的取值范围为.
[点评]　P，Q关于直线l对称包括两层含义：①P，Q的中点在直线l上；②直线PQ与直线l垂直．
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1
得＋(3－x)2＝1，
即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0，
∴直线与椭圆相离．
答案：C
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
答案：C
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
若5＞m，则≥1，
若5＜m，则必有公共点，
∴m≥1且m≠5.
答案：D
4．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
解析：由＋＝1得－2≤y≤2，
∴－2答案：(－2,2)
5．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
解析：由得交点坐标(0,1)，，
则|AB|＝ ＝.
答案：
6．过点P(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
解：设直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x，y)，则

由①－②得＝－·＝－·.
又∵直线l的斜率为kPM＝，
∴＝－.
整理得x2＋2y2－2x－2y＝0.
∴直线l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为
x2＋2y2－2x－2y＝0.
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
答案：B
2．已知椭圆x2＋＝a2(a＞0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
解析：分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋＞a2，解得0＜a＜；(2)B点在椭圆内，16＋＜a2，解得a＞.
答案：B
3．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则·＝(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析：椭圆右焦点为(1,0)，
设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2.
把y＝x－1代入＋y2＝1得，3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴·＝－.
答案：B
4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵点A，B在椭圆上，
∴＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0.③
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
答案：B
二、填空题
5．已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上两点，且＝λ，则λ＝________.
解析：由＝λ知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.
答案：－1
6．若直线y＝x＋m与椭圆4x2＋y2＝1有公共点，则实数m的取值范围为________．
解析：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
答案：
7．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
8．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P，若PF2恰好与圆F1相切，则该椭圆的离心率为________．
解析：由已知圆F1的半径r＝c，即|PF1|＝c，
又PF2与圆F1相切，所以PF2⊥PF1，
∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c.
∴|PF1|＋|PF2|＝(1＋)c＝2a.
∴e＝＝＝－1.
答案：－1
三、解答题
9．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，
解得－所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.