2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质

2．1.2　椭圆的简单几何性质
第一课时　椭圆的简单几何性质
[读教材·填要点]
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系
(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；
(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．
[小问题·大思维]
1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？
提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，
得a＝5，b＝3，则c＝＝4.
因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.
离心率e＝＝＝0.8.
焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)，
顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
2．如何用a，b表示离心率？
提示：由e＝得e2＝＝，
∴e＝ .
∴e＝.
3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？
提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c.
由椭圆方程研究简单几何性质
求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[自主解答]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝.
由椭圆的简单几何性质求方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e＝；
(2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．
[自主解答]　(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
因为a＝3，e＝，
所以c＝.从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，
所以＝.所以a2＝27.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程．
2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0), ∴＝1，a＝2.
∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1.
∴b＝2,2a＝2·2b.
∴a＝4.
∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知∴
从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A.　　 B.　　　　C.　　　　D.
[自主解答]　法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
[答案]　D
若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解：由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>.故C的离心率的取值范围为.
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝ 求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
3．已知椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的端点B构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
解：如图，|F1F2|＝2c，
∵|BF1|＋|BF2|＝2a，且△BF1F2为等腰直角三角形．
∴|BF1|＝|BF2|＝a＝c.
∴离心率e＝＝.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆的离心率的取值范围．
[巧思]　由∠APO＝90°可知：点P(x，y)在以OA为直径的圆上，且P点又在椭圆上．
然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P点的横坐标．利用0[妙解]　设P(x，y)，由∠APO＝90°知：P点在以OA为直径的圆上．
圆的方程是：2＋y2＝2?y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②得：
＋＝1?(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，
x≠a，x≠0?x＝.又0∴0<.
又∵0故所求的椭圆离心率的取值范围是.

1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0)　　　　　　　　 B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则c＝ ＝.
答案：D
2．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8.
∴e2＝＝.∴e＝.
答案：D
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m等于(　　)
A. B．2
C．4 D.
解析：由条件可知＝2，解得m＝.
答案：D
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.∴e＝＝.
答案：
5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程为＋＝1，
∴a2＝2m＋1，b2＝m.
∴c＝＝.
由e＝，得 ＝，解得m＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
∴a＝，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－，0)，A2(，0)，B1，B2.
一、选择题
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A．C1与C2顶点相同　　　 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
答案：D
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2　　　　　　　 B．5,4
C．5,1 D．9,1
解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
答案：D
3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵＝，且c＝，
∴a＝，b＝＝1.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
答案：A
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
答案：A
二、填空题
5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.
答案：4,3
6．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF＝90°，则椭圆的离心离为________．
解析：由已知|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
∴(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2.
∴a2＋b2＝2ac＋c2.
又b2＝a2－c2，
∴c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0.
∴e＝.
答案：
7．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．
解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a和2b的菱形，因此其面积为S＝·2a·2b＝2ab＝40，
∴ab＝20.又c＝3，且a2－b2＝c2.
∴a2－＝9，a4－9a2－400＝0.
∴a2＝25或a2＝－16(舍去)．
∴a＝5，b＝4，所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由椭圆＋＝1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
解：e＝＝＝，∴＝.
∴a2＝3b2，即a＝b.
过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1，
把a＝b代入，即x－y－b＝0.
又由点到直线的距离公式得
＝，解得b＝1，∴a＝.
∴所求方程为＋y2＝1.
10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则
F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)．
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.
∵PF2∥AB，且kPF＝＝，
又kAB＝－，∴由kPF ＝kAB，得－＝－.
∴b＝2c.∴a＝＝c.
∴e＝＝，即椭圆离心率为.