2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．2.2 第二课时 直线与双曲线的位置关系

第二课时　直线与双曲线的位置关系
[读教材·填要点]
1．直线与双曲线的位置关系
一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
2．弦长公式
斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|.
[小问题·大思维]
1．当直线与双曲线只有一个公共点时，直线一定与双曲线相切吗？
提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
2．当直线的斜率不存在或斜率k＝0时，如何求弦长？
提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长．
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[自主解答]　由消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*)
当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
(1)即－＜k＜，且k≠±1时，
方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点．
(3)即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，(1)当k∈∪(－1,1)∪时，直线与双曲线有两个公共点．
(2)当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点．
(3)当k∈∪时，直线与双曲线没有公共点．
若将“y＝k(x－1)”改为“y＝k(x－3)”，试解决(2)(3)两个问题？
解：∵直线y＝k(x－3)过定点(3,0)，且定点(3,0)在双曲线x2－y2＝4的内部．
∴当k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当直线l与双曲线没有公共点时，k不存在，即k∈?.
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．
1．已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程．
解：可分两种情况：
①直线l斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意，此时直线l为x＝1.
②直线l斜率存在时，设l方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程得
(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个公共点．直线l为y＝2x－1或y＝－2x＋3.
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝，
直线l为y＝x－.
综上，直线l的方程为x＝1或y＝2x－1或y＝－2x＋3或y＝x－.
弦长及中点弦问题
已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点．若P为AB的中点，
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长．
[自主解答]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入双曲线方程3x2－y2＝3，得
3x－y＝3,3x－y＝3，
两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即·＝3，
所以直线AB的斜率
kAB＝＝＝＝＝6.
所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.
(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得
33x2－132x＋124＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
由弦长的公式|AB|＝
＝
得|AB|＝ ，
所以|AB|＝.
保持例题条件不变，试判断A，B两点在双曲线的左支上还是在右支上？
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得33x2－132x＋124＝0.
∴
即x1>0且x2>0，∴点A，B都在双曲线的右支上．
对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决．另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．
2．直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
解：设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝4.
解得m＝±.
由(*)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ＞0，符合题意．
故m的值为±.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
[巧思]　以AB为直径的圆过坐标原点，即OA⊥OB.因此可联立直线与双曲线方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则问题可转化为x1x2＋y1y2＝0求解．
[妙解]　由消去y，得
(3－a2)x2－2ax－2＝0.①
依题意即－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0.
解得a＝±1且满足②，
∴a＝±1.
1．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．4
C．8 D．4
解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.
答案：B
2．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：双曲线方程为－＝1，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
答案：C
3．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，
所以|AB|＝2×＝2×2a.
∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
答案：B
4．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值是________．
解析：|MF2|＋|NF2|－|MN|
＝|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|
＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)
＝4a＝8.
答案：8
5．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
解析：由
得x2－(kx＋2)2＝6.
即(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则
得－答案：
6．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解：∵a＝1，b＝，c＝2，
直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2.
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－＜0，
∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝6.
一、选择题
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)
解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a＞0，b＞0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a＞0，而由B、D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a＞0，b＜0.
答案：C
2．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P与N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
答案：D
3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得＝＝＝.又直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2.
代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.
答案：B
4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2， 则此双曲线的渐近线的斜率是(　　)
A．± B．±
C．±2 D．±
解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是y＝±x，不妨设过右焦点F(c,0)(c>0)的直线l与渐近线y＝x垂直，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y＝－(x－c)，两直线方程联立解得y1＝；把方程y＝－(x－c)与方程y＝－x联立，解得y2＝，因为＝2，所以(x2－c，y2)＝2(x1－c，y1)，由此得y2＝2y1，故＝，即2(b2－a2)＝c2＝a2＋b2，即b＝a，故此双曲线的渐近线斜率是±.
答案：B
二、填空题
5．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
6．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
依题意c＝.∴方程可化为－＝1.
由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵＝－，
∴－＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．设一个圆的圆心在双曲线－＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．
解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0，5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝＝4.代入双曲线方程得－＝1，所以x＝，故|PO|＝ ＝ ＝.
答案：
8．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，
根据双曲线定义得4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，
即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
又双曲线的渐近线方程是y＝±x，
所以y＝±x，即4x±3y＝0.
答案：4x±3y＝0
三、解答题
9．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，可知方程有两组不同的解，消去y，并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴解得0而双曲线C的离心率e＝＝，
从而e>，且e≠，
故双曲线C的离心率e的取值范围为
∪(，＋∞)．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点P(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线交于两个不同点A，B，且·>2(O为坐标原点)，求k的取值范围．
解：(1)由已知e＝＝，∴c＝a，
b2＝c2－a2＝a2－a2＝a2，即a2＝3b2.
又P(，1)在双曲线上，
∴－＝1，∴b2＝1，a2＝3.
故所求双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立消去y并整理得：
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C交于不同两点A(x1，y1)和B(x2，y2)得：

∴k2<1且k2≠.①
又x1＋x2＝，
x1x2＝－，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝(k2＋1)－k·＋2>2.
∴<0.
∴由①②得故k的取值范围是∪.