2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．2.2 第一课时 双曲线的简单几何性质

2．2.2　双曲线的简单几何性质
第一课时　双曲线的简单几何性质
[读教材·填要点]
双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴和y轴，中心：(0,0)
顶点
(±a,0)
(0，±a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
[小问题·大思维]
1．你能求出双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？
提示：由题意得a2＝4，b2＝3，
解得a＝2，b＝，则c＝＝.
因此，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝2.
离心率e＝＝.
渐近线方程为y＝±x.
2．如何用a，b表示双曲线的离心率？
提示： e＝＝＝.
3．双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？
提示：e＝＝ ，当e越大时，双曲线开口越大，当e越小接近于1时，双曲线开口越小．
4．双曲线－＝1与－＝1的渐近线有什么关系？
提示：双曲线－＝1与－＝1的渐近线相同．
由双曲线的标准方程研究其几何性质
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[自主解答]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程y＝±x＝±x.
若将“－36”改换为“36”呢？
解：把方程9y2－4x2＝36化为标准形式为－＝1，
∴a＝2，b＝3，c＝.
∴顶点为(0，－2)，(0,2)，
焦点坐标为(0，－)，(0，)，
实轴长是2a＝4，
虚轴长是2b＝6，
离心率e＝＝.
渐近线方程为y＝±x.
已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
1．已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是(　　)
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
解析：双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确．
答案：C
2．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，
所以e＝＝＝，解得m＝2.
答案：2
由双曲线的几何性质求标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[自主解答]　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
所以a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)∵所求双曲线与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，
∴设所求双曲线方程为x2－2y2＝λ.
又双曲线过点M(2，－2)，则
22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4.
∴所求双曲线方程为－＝1.
(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：
①根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；
②由已知条件求出待定系数a，b；
③将求得的系数a，b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
(2)已知双曲线与曲线＋＝1共焦点，与曲线－＝1共渐近线．
解：(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由渐近线方程为y＝±x，得
＝，2c＝10.
又c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5，
∴双曲线的标准方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为－＝1，
∴所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
(2)由＋＝1得双曲线的焦点为(0，±5)．
又双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则：解得b2＝9，a2＝16.
∴所求双曲线方程为－＝1.
求双曲线的离心率
过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[自主解答]　如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.
[答案]　2＋
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
[注意]　求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系．
4．(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)．若＝2，求双曲线的离心率；
(2)设点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点F1，F2，|PF1|＝4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围．
解：(1)∵c＝，
∴e＝＝＝ ＝＝.
(2)由双曲线定义得：|PF1|－|PF2|＝2a，
与已知|PF1|＝4|PF2|联立解得：
|PF1|＝a，|PF2|＝a.
由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2 |得：
a＋a≥2c，解得1所以离心率的取值范围为.
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
求过点P(2，－1)，渐近线方程为y＝±3x的双曲线的标准方程．
[巧思]　可根据点P(2，－1)与渐近线y＝±3x的位置关系，先确定双曲线的标准类型，然后利用待定系数法求标准方程，也可根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点P(2，－1)代入求解．
[妙解]　法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x的上方还是下方．如图所示．x＝2与y＝－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意，得
解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
法二：由渐近线方程3x±y＝0，
可设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)(*)
将点P(2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
1．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由－＝0，得y2＝x2，即y＝±x.
答案：A
2．双曲线－＝1的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：a2＝25，b2＝16，c2＝a2＋b2＝41，
∴e＝＝.
答案：C
3．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：∵e＝＝，F2(5,0)，
∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
答案：C
4．已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
解析：双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，比较系数得b＝2.
答案：2
5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
解析：画图可得相似直角三角形，因此有△OAA′∽△OFF′，＝＝3，
即e＝3.
答案：3
6．求中心在原点，两顶点间距离为6，渐近线为y＝±3x的双曲线的标准方程．
解：因为两顶点间的距离为6，
即2a＝6，∴a＝3.
①当焦点在x轴上时，则有＝3，∴b＝9.
∴双曲线方程为－＝1.
②当焦点在y轴上时，
则有＝3，∴b＝1.
∴双曲线方程为－x2＝1.
一、选择题
1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于(　　)
A．2　　　　　　　 B.
C. D．1
解析：很明显，双曲线的焦点在x轴上，
则离心率e＝＝2，解得a＝1.
答案：D
2．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：由题意得双曲线的离心率e＝.
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，
∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
答案：C
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知＝，
又解得
故所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案：D
4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得－·＝－1，即b2＝ac，
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(舍负值)．
答案：D
二、填空题
5．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.
答案：
6．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
答案：－＝1.
8．已知双曲线＋＝1的离心率e∈(，2)，则m的取值范围是________．
解析：由双曲线方程知a＝2，b＝，m<0，
因为e∈(，2)，且e2＝1＋，
所以2<1＋<4,1<<3，
因此，有1<<3,4<－m<12，
所以－12答案：(－12，－4)
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)；
(2)离心率为，虚半轴长为2；
(3)两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分．
解：(1)由焦点坐标知双曲线焦点在x轴上，且c＝4.
由双曲线过点(2,0)知顶点坐标为(2,0)，(－2,0)，
即a＝2，
从而a2＝4，b2＝c2－a2＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由题意得b＝2，又e＝＝，令c＝5k(k>0)，
则a＝4k，由b2＝c2－a2＝9k2＝4得k2＝，
∴a2＝16k2＝.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
10.如图所示，已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1与双曲线的交点P满足＝3，试求双曲线的离心率．
解：连接PF2，设|F1F2|＝2c，
由＝3知
|PF1|＝|MF1|.
又△MF1F2为正三角形，
∴|PF1|＝×2c＝c，
∠PF1F2＝60°，
由余弦定理可得：
|PF2|＝ 
＝ ＝c.
根据双曲线定义有
2a＝|PF2|－|PF1|＝c，
∴离心率e＝＝＝.