2019年数学湘教版选修1-1新设计同步（讲义）：第2章 2．3.2 第二课时 直线与抛物线的位置关系

第二课时　直线与抛物线的位置关系
[读教材·填要点]
直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，
(1)若a≠0，
当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
[小问题·大思维]
　若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？
提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
直线与抛物线的位置关系
若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[自主解答]　因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解．
消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
解得a＝0或a＝－.
当a＝0时，原方程组有唯一解
当a＝－时，原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
若将“曲线C：y2＝ax恰有一个公共点”改为“抛物线C：y2＝ax(a≠0)相交”，如何求解？
解：列方程组消去x并化简，
得(a＋1)y2－ay－a＝0.(*)
①当a＋1＝0即a＝－1时：方程(*)化为y＋1＝0，
∴y＝－1.
∴方程组的解为故直线与抛物线相交．
②当a＋1≠0即a≠－1时，
由Δ＝(－a)2＋4a(a＋1)≥0，得
5a2＋4a≥0，结合a≠0，
解得a≤－或a>0.
综上所述，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点．
1.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离．
即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
弦长、中点弦问题
已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求此抛物线方程．
[自主解答]　设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，
由方程组
消去y得：2x2－ax＋a＝0，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，
弦长为|AB|＝
＝ ＝ 
＝ .
∵|AB|＝，∴ ＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.
(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．
(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．
2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦恰被Q平分，求AB所在直线方程．
解：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

k＝，⑤
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
将④代入，得y1－y2＝4(x1－x2)，4＝.
∴k＝4.
经验证，此时直线与抛物线相交．
∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
抛物线中的定点、定值问题
A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证：
(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；
(2)直线AB经过一个定点．
[自主解答]　(1)因为AB斜率不为0，设直线AB方程为my＝x＋b，
由消去x，得y2－2pmy＋2pb＝0.
由Δ＝(－2pm)2－8pb>0，
又∵y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pb，OA⊥OB，
∴x1·x2＋y1·y2＝0.
∴＋y1·y2＝0.
∴b2＋2pb＝0.∴b＋2p＝0.∴b＝－2p.
∴y1y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2.
所以A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和－4p2；
(2)直线AB的方程为my＝x－2p，
所以AB过定点(2p,0)．
直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求．
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B，求证：yA·yB＝－p2.
证明：①斜率不存在时y1＝p，y2＝－p，
∴y1y2＝－p2.
②斜率存在时，消去x得，
y＝k·－，
∴y1·y2＝＝－p2.
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
抛物线y2＝x上，存在P，Q两点，并且P，Q关于直线y－1＝k(x－1)对称，求k的取值范围．
[解]　法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴?(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
又∵
∴y1＋y2＝－k.
∴－1＝k＝[(y1＋y2)2－2y1y2－2]．
∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]．
∴2ky＋2k2y1＋k3－k＋2＝0.
∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)>0.
∴k(－k3＋2k－4)>0.
∴k(k3－2k＋4)<0.
∴k(k＋2)(k2－2k＋2)<0.
∴k∈(－2,0)．
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中点M(x0，y0)，
由题意可知直线y－1＝k(x－1)的斜率存在，且k≠0.
不妨设直线PQ的方程为x＋ky＋m＝0，
由
得y2＋ky＋m＝0.
∴y1＋y2＝－k.
即y0＝－，x0＝－.
又∵中点M(x0，y0)在抛物线的内部，
∴y即<0，
∴k∈(－2,0)．
1．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A．5p　　　　　　　　 B．10p
C．11p D．12p
解析：将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.
∵直线过抛物线的焦点，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.
答案：B
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由直线AB斜率为－2，
且过点(1,0)得直线AB方程为y＝－2(x－1)，
代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，
∴|AB|＝＝
＝2.
答案：B
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：斜率不存在时，直线x＝0符合题意，
斜率存在时，由
得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，
k＝0时，符合题意，
k≠0时，由Δ＝0得k＝.
答案：C
4．已知△OAB为等腰直角三角形，其中|OA|＝|OB|，若A，B两点在抛物线y＝x2上，则△OAB的周长是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2<0答案：8＋8
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
解析：抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入得：y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
解：将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：
k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
由?k>－1且k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：
x1＋x2＝＝4?k2＝k＋2?k2－k－2＝0.
解得k＝2或k＝－1(舍去)．
由弦长公式得：
|AB|＝·
＝×＝2.
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．－4
C．p2 D．－p2
解析：取特殊位置，当AB⊥x轴时，A，B.
∴＝－4.
答案：B
2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1,1]．
答案：C
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：由解得
由题得知解得
又知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，
∴焦距2c＝2.
答案：B
4．设定点M与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，P点的坐标为(　　)
A．(0,0) B．(1，)
C．(2,2) D.
解析：连接PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值为|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝，与y2＝2x联立可得x＝2，y＝2.
答案：C
二、填空题
5．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：显然x1>0，x2>0.又y＝4x1，y＝4x2，所以y＋y＝4(x1＋x2)≥8，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以y＋y的最小值为32.
答案：32
6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由条件可知直线AB的方程为y＝x－，
由得x2－px＋＝2px.
即x2－3px＋＝0，
又|AB|＝8，即＋＝8.
∴x1＋x2＝8－p.
即3p＝8－p，∴p＝2.
答案：2
7．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.
答案：48
8．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
解析：依题意，设直线AB的方程是x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由消去x得y2＝4(my＋1)，
即y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
又＝3，
＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，
于是有－y1＝3y2，y＝，
(y1＋y2)2＝4y＝，
弦AB的中点到准线的距离为＋1＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
答案：
三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：(1)证明：易知k≠0，
联立消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
因为y＝－x1，y＝－x2，
所以(y1·y2)2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，
所以x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0，所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N，
则N的坐标为(－1,0)，
所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1× ＝，
解得k2＝，所以k＝±.
10.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.
故直线AB的方程是y－2＝k(x－4)，
与y2＝x联立得，
y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一解，
∴2yB＝，yB＝，
xB＝y＝.
∴B.
∵kAC＝－k，以－k代替k代入B点坐标得点C的坐标为，
∴kBC＝＝－为定值．