2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第12章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若从中抽取6瓶检验，下列是用系统抽样方法确定所抽的编号为(　　)
A．3,13,23,33,43,53
B．2,14,26,38,42,56
C．5,8,31,36,48,54
D．5,10,15,20,25,30
解析：选A　分6个组、每组10瓶，间隔为10等距离抽取．
2．(全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B　标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为(　　)
A．193 B．192
C．191 D．190
解析：选B　1 000×＝80，求得n＝192.
4．如果数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…， 3xn＋2的平均数和方差分别是(　　)
A.和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和12s2＋4
解析：选C　3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2.
5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
A．100,10 B．200,10
C．100,20 D．200,20
解析：选D　易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即样本容量；
抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，
由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.
6．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常被应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取的两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639
乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是(　　)
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：选A　甲批次的平均数
＝＝0.617，
乙批次的平均数
＝＝0.613，
所以甲批次的总体平均数与标准值更接近．
7．某工厂检查产品质量，抽查检验记录为一等品30件，二等品50件，三等品20件．则产品中三等品所占比率为(　　)
A．0.125 B．0.25
C．0.1 D．0.2
解析：选D　三等品所占比例为＝0.2.
8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据直方图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(　　)
A．0.6小时 B．0.9小时
C．1.0小时 D．1.5小时
解析：选B　根据条形图可得
＝＝0.9(小时)．
9．已知下表是某班学生的一次数学考试成绩的分布表
分数段
[0,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,150]
人数
7
6
8
12
6
6
那么，分数在区间[100,110)内的频率和分数不满110分的频率分别是(　　)
A．0.38,1 B．0.18,1
C．0.47,0.18 D．0.18,0.47
解析：选D　分数在区间[100,110)内的学生共有8人，
该班的总人数为7＋6＋8＋12＋6＋6＝45人，
则分数在区间[100,110)内的频率为≈0.18，
分数不满110分的共有7＋6＋8＝21人，
则分数不满110分的频率是≈0.47.
10.(山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)
A．3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
解析：选A　由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，
又它们的平均值相等，
所以×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，
解得x＝3.
11．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重(单位：kg)，得到的频率分布直方图如图，由此估计该地区的10 000名高三男生中体重在区间[56.5,64.5)内的学生人数是(　　)

A．1 000 B．2 000
C．3 000 D．4 000
解析：选D　体重在区间[56.5,64.5)内的学生的频率为0.06＋2×0.1＋0.14＝0.4.
估计该地区10 000名学生中体重在[56.5,64.5)之间的人数约为10 000×0.4＝4 000(人)．
12．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需的时间，进行了10次实验，数据如下：
玩具个数
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
如回归方程的斜率是b，则它的截距是(　　)
A．a＝11b－22 B．a＝22－11b
C．a＝11－22b D．a＝22b－11
解析：选B　由＝＝11，＝(4＋7＋12＋15＋21＋25＋27＋31＋37＋41)＝22.
得a＝－b＝22－11b.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．一个容量为20的样本数据，分组后各组的频数情况如下表：
数据
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
发生次数
2
3
4
5
4
2
则样本数据在区间[10,50)内的频率为________．
解析：由表格可知，样本数据在[10,50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，
则频率为＝0.7.
答案：0.7
14．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．
解析：因a＝－x，
由回归方程知0.35＝－0.7＝－0.7×，解得t＝3.
答案：3
15．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段人数为90人，则90～100分数段人数为________．
解析：∵130～140分数段的人数为90，频率为0.05.
∴样本的容量为：＝1 800.
则在90～100分数段的人数为
1 800×0.45＝810(人)．
答案：810
16．甲、乙两名学生连续五次的数学测验成绩如下：
甲：80 , 75 , 80 , 80 , 90
乙：70 , 70 , 75 , 80 , 65
则________的数学成绩较稳定．
解析：经计算可得
s＝24∴甲的成绩比较稳定．
答案：甲
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某电视台为调查节目的收视率，分别在400名大学生，300名高中生，以及200名初中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出90份，如何抽取才能得到比较客观的答案．
解：可以采用分层抽样的方式进行抽样．
因为样本容量与总体个数的比是90∶900＝1∶10，
所以分别在大学生、高中生、初中生中抽取的个体数依次是40,30,20，
然后可以采用简单随机抽样的方式，分别在大学生400份答卷中抽取40份，高中生300份答卷中抽取30份，初中生200份答卷中抽取20份，就完成了整个抽样过程，也就能得到比较客观的答案．
18．(本小题满分12分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：
[0,400)
[400,480)
[480,550)
[550,750]
文科考生
67
35
19
6
理科考生
53
x
y
z
已知用分层抽样的方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名．
(1)求z的值；
(2)如图是不低于550分的6名文科考生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差.
树茎
树叶
13
12
11
2　4
0　5　8
1
解：(1)依题意＝，得z＝9.
(2)这6名文科考生的语文成绩的平均分为
＝125，
则这6名考生的语文成绩的方差为
s2＝×[(111－125)2＋(120－125)2＋(125－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2＋(134－125)2]
＝×(142＋52＋02＋32＋72＋92)＝60.
19．(本小题满分12分)从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例．
解：(1)频率分布表如下：
成绩 i
发生次数 ni
fi＝发生频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70]
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，
即为(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%.
(4)成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率．
设相应频率为b.由＝，
故b＝0.72.
估计成绩在85分以下的学生约占72%.
20．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布 直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1
得x＝0.007 5，
∴直方图中x的值为0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，
则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，
解得a＝224，即中位数为224.
(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，
同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，
故抽取比例为＝，
∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．
21．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5
2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4
1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得>，
因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
22．(本小题满分12分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知：＝280，iyi＝3 487.
(1)求、；
(2)画出散点图；
(3)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
(4)若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．
解：(1)＝＝6，
＝＝.
(2)散点图如图所示．
(3)由散点图知，y与x有线性相关关系，设回归直线方程为y＝bx＋a.
∵＝280，∴s＝×280－36＝4，
iyi＝3 487，＝6，＝，
sxy＝－ ＝19.
∴b＝＝4.75，
a＝－6×4.75≈51.36，
∴回归直线方程为y＝4.75x＋51.36.
(4)当x＝20时，y＝4.75×20＋51.36≈146，因此本周内某天的销售为20件时，估计这天的纯收入大约为146元．