2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第13章 13.1 试验与事件

13．1试验与事件
第一课时　事　件
1．全集和元素
(1)对于一个试验，我们将该试验的可能结果称为元素，称所有元素构成的集合为试验的全集．
(2)用Ω表示试验的全集，用ω表示Ω的元素．
2．事件
(1)当Ω是试验的全集，我们称Ω的子集A是Ω的事件，简称为事件，当试验结果 (即试验的元素)ω属于A时，就称事件A发生，否则称A不发生．
(2)空集?也是Ω的子集，所以空集?是事件，空集?中没有元素，永远不会发生，我们称?是不可能事件．
(3)Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的元素，所以必然发生，我们称全集Ω是 必然事件．
1．如何确定事件？
提示：事件是随机事件的简称，是在一定的条件下可能发生，也可能不发生的试验结果组成的集合．
2．元素、事件与全集间的关系是什么？
提示：(1)元素与事件之间是“属于”与“不属于”的关系，二者必居其一；元素一定从属于全集．
(2)事件包含于全集中，即事件是全集的子集．
3．全集中的事件可分为几类？
提示：按事件发生与否可分为：必然事件，随机事件与不可能事件．
写出试验的元素和全集
先后掷3枚硬币，根据3枚硬币落地后出现正面朝上或反面朝上的情况，写出试验的元素和全集．
[解]　设H表示硬币正面朝上，T表示硬币反面朝上，试验共有8个元素，它们是：
HHH：三个硬币正面朝上
HHT：前两个硬币正面朝上，第三个反面朝上；
HTH：一、三正面朝上，第二个反面朝上；
HTT：第一个正面朝上，第二、三反面朝上；
THH：第一个反面朝上，第二、三正面朝上；
THT：第一、三个反面朝上，第二个正面朝上；
TTH：前两个反面朝上，第三个正面朝上；
TTT：三个硬币反面朝上．
全集是Ω＝{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}．,
书写试验的全集问题关键要理清思路，按一定的顺序逐个写出产生的各种结果，不可在书写过程中轻易变换顺序(规则)，否则极可能造成元素的重复或遗漏．
1．一个盒子里装有10个完全相同的球，分别标记号码1,2，…，10，从中任取一球，观察球的号码，写出试验的元素和全集．
解：用Ai表示球的号码，则
A1＝1，A2＝2，A3＝3，A4＝4，A5＝5，A6＝6，A7＝7，
A8＝8，A9＝9，A10＝10.
Ω＝{A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10}．
事件的判断
指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)如果a>b，那么b(4)某人的手机一天收到20条短信．
[解]　(1)可能发生也可能不发生，故(1)是随机事件；
(2)在三角形中，大边对大角，小边对小角，故(2)是不可能事件；
(3)若a>b，则b(4)手机收到20条短信也可能发生，也可能不发生，故(4)是随机事件．
综上：(1)(4)是随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件．
判断一个事件是哪类事件，关键是要从事件所限定的条件入手，若不能透彻地理解条件的限定范围，很可能会导致对事件发生与否产生错误判断，因此，条件是决定事件发生与否的主要因素．
2．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
(1)抛一石块，下落；
(2)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(3)某人射击一次，中靶；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)导体通电后，发热；
(6)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(7)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
(8)没有水分，种子能发芽；
(9)在常温下，焊锡熔化．
解：根据定义，(1)、(5)是必然事件；(2)、(8)、(9)是不可能事件；(3)、(4)、(6)、(7)是随机事件．
[随堂体验落实]
1．下列是必然事件的是(　　)
A．某路口在单位时间内发生交通事故
B．冰水混合物的温度是1℃
C．三角形的内角和为180°
D．一个射击手每次射击都击中目标
解析：选C　A是随机事件，B是不可能事件，D是随机事件，C是必然事件．
2．以下是随机事件的是(　　)
A．过了冬天就是春天
B．物体在重力作用下自由下落
C．不共线的三点确定一个平面
D．2020年东京奥运会中国将获得50枚金牌
解析：选D　A，B，C是必然事件，D是随机事件．
3．袋中有红、黄、白三个大小、形状均相同的小球，摸出两个球的所有元素为________．
解析：用(i，j)表示不同颜色的球，则有
(红，白)(红，黄)(黄，白)共有3个元素．
答案：(红，白)(红，黄)(黄，白)
4．投掷一枚骰子和一枚硬币，请根据骰子朝上一面出现的点数与硬币出现的正反面情况，写出全集．
解：设H表示硬币正面朝上，T表示硬币反面朝上．
Ω＝{(1，H)，(1，T)，(2，H)，(2，T)，(3，H)，(3，T)，(4，H)，(4，T)，(5，H)， (5，T)(6，H)，(6，T)}．
[感悟高手解题]
[易错题]
做先后投掷二颗骰子的试验：用(x，y)表示投掷结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出(1)试验的元素；(2)“出现点数之和大于10”的事件元素．
[错解]　(1)这个试验的所有元素：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)
(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,5)，(5,6)，
(6,6)．
(2)“出现点数之和大于10”的元素：(5,6)，(6,6)．
[错解分析]　本题极易忽略题目中“先后”两字所限定的条件．“先后投掷二颗骰子”时，出现的点数统计中，(x，y)与(y，x)是有区别的，而“同时投掷二颗骰子时”，则不必考虑(x，y)与(y，x)的区别．
[正解]　(1)这个试验的所有元素：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于10”包含以下3个元素：(5,6)，(6,5)，(6,6)．
一、选择题
1．下列事件是随机事件的是(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．地球上没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面朝下
D．在标准大气压下且温度达到70℃时，水沸腾
解析：选C　A是必然事件，B，D是不可能事件，C是随机事件．
2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的元素有(　　)
A．(男 女)，(男 男)，(女 女)
B．(男 女)，(女 男)
C．(男 男)，(男 女)，(女 男)，(女 女)
D．(男 男)，(女 女)
解析：选C　用(i，j)表示男、女(注意年龄大小不同)，
则会出现(男，男)，(男，女)，(女，女)(女，男)．
3．如果在10件同类产品中，有8件正品、2件次品，从中任意抽出3件检验．那么，以下三种结果：(1)抽到3件正品；(2)抽到2件次品；(3)至少抽到1件正品，其中是随机事件的是(　　)
A．(1)(2)　　　　　　 　B．(2)(3)
C．(1)(3) D．(1)(2)(3)
解析：选A　根据随机事件的定义，(1)(2)可能发生也可能不发生，故同为随机事件， 而抽取3件时，无论怎样抽取，都必然会抽到正品，因为次品只有2件，故(3)为必然事件．
4．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面朝上恰有5次是(　　)
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
解析：选B　“正确朝上恰有5次”可能发生也可能不发生，因此是随机事件．
二、填空题
5．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；
③同时掷了两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④当x为实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
解析：①②是随机事件，③是必然事件，④是不可能事件．
答案：③　④　①②
6．从甲、乙、丙3人中选2名代表，则试验的全集：Ω＝________.
解析：用(i，j)表示选出的代表，则试验的元素共有：
(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)
∴Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)}．
答案：{(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)}
三、解答题
7．在5个玻璃球中，有3个红色的，2个绿色的，从中任意抽出3个，写出试验的所有元素和全集．
解：试验的所有元素为
(红，红，绿)，(红，绿，绿)，(红，红，红)，
Ω＝{(红，红，绿)，(红，绿，绿)，(红，红，红)}．
8．指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？
(1)某地1月1日刮西北风；
(2)当x是实数时，x2≥0；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4)一个电影院某天的上座率超过50%.
解：(1)可能发生也可能不发生，是随机事件．
(2)一定发生，是必然事件．
(3)一定不发生，是不可能事件．
(4)可能发生也可能不发生，是随机事件．
第二课时　事件的运算
1．对立事件
(1)用ΩA表示A的补集．
(2)对于试验的全集Ω和事件A，由于A和ΩA有且只能有一个发生，我们称ΩA是A的对立事件．
2．互斥事件
事件A，B的交集是空集，所以A发生，B就不能发生；B发生，A就不能发生，当A∩B＝?，我们称A，B互斥．
1．对立事件和互斥事件有什么关系呢？
提示：事件A和事件B是对立事件，则A和B一定是互斥事件，若A和B是互斥事件，则A和B不一定是对立事件．
2．怎样用集合表示互斥事件和对立事件．
提示：(1)若A∩B＝?，则A和B是互斥事件．
(2)若A∩B＝?，A∪B＝Ω，则A和B是对立事件．
用集合运算进行事件的运算
袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球，从中任取两球，试写出全集和以下事件．
(1)A＝“取到红球”；
(2)B＝“取不到白球”；
(3)A∩B;
(4)ΩB.
[解]　一次取两个球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球，
则本试验的全集是Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
根据事件的定义，得
(1)A＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)}；
(2)B＝{(红，黄)，(红，黑)，(黄，黑)}；
(3)A∩B＝{(红，黄)，(红，黑)}＝“取到的球中有一球是红球，但无白球”．
(4)ΩB＝{(红，白)，(白，黄)，(白黑)}＝“取出两球中必有白球”．
由于事件就是集合，所以对事件可以进行并、交和补的运算，其中，
(1)“若事件A发生，则事件B一定发生”可表示为A?B.
(2)“事件A发生或事件B发生”可表示为A∪B.
(3)“事件A发生且事件B发生”可表示为A∩B.
1．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，写出全集和 以下事件：
(1)A＝“数字之和是奇数”；
(2)B＝“数字之和是偶数”；
(3)A∩B.
解：用(i，j)表示两个卡片的数字．
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．
(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)(3,4)}．
(2)B＝{(1,3)，(2,4)}．
(3)A∩B＝?.
互斥事件和对立事件
从含有三件正品和两件次品的5件产品中，无放回地任取两件，用集合A，B，C表示下面的(1)，(2)，(3)中的事件．
(1)2件都是正品；
(2)恰有1件是正品；
(3)两件都是次品；
(4)用A，B，C表示Ω；
(5)解释事件A∪B，A∩B，AB，ΩA的含义．
[解]　将三件正品标号a1，a2，a3，将两件次品标号b1，b2.
(1)A＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)}
(2)B＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}．
(3)C＝{(b1，b2)}．
(4)因为必有事件A，B，C之一发生，所以全集Ω＝A∪B∪C
(5)A∪B＝“至少有一件是正品”；
A∩B＝?＝“不可能事件”；
AB＝A＝“两件都是正品”；
ΩA＝“至少有一件是次品”．
互斥事件和对立事件的含义
(1)事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，A和B为互斥事件，即A∩B＝?.
(2)事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，则A与B是对立事件，即A∩B＝?，A∪B＝Ω.
2．投掷3枚硬币，观察结果，写出全集，分别用集合A，B，C表示以下(1)、(2)、(3)中的事件．
(1)都是正面
(2)恰好两个正面；
(3)至少有一个反面；
(4)计算A∩B，ΩA，并解释含义．
解：Ω＝{正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}．
(1)A＝{正正正}．
(2)B＝{正正反，正反正，反正正}．
(3)C＝{正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}．
(4)A∩B＝?＝“不可能事件”，
ΩA＝C＝“至少有一个反面”．
[随堂体验落实]
1．抽查10件产品，设A＝“至少有两件次品”，则ΩA等于(　　)
A．{至多有两件次品}
B．{至多有两件正品}
C．{至少有两件正品}
D．{至多有一件次品}
解析：选D　设ai(i＝0,1,2，…，10)表示有i件次品，
则Ω＝{a0，a1，a2，…，a10}，A＝{a2，a3，a4，…，a10}．
∴ΩA＝{a0，a1}，故选D.
2．把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是(　　)
A．对立事件　　　　　 　B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析：选C　“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立．
3．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是________．
解析：与“3件都是一级品”相对立的是“3件不全是一级品”，
即“至少有一件是二级品”．
答案：至少有一件是二级品
4．掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
解析：不能同时发生的是互斥事件，
则A和B是互斥事件；
又因为A∩B＝?，A∪B＝Ω，
则A，B就是对立事件，故A和B也是对立事件．
答案：A和B　A和B
[感悟高手解题]
[多解题]
口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球大小、形状完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一球，试求第二人摸到白球的试验中有多少元素．
[解]　法一：设A＝“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号①，②；
2个黑球也编上序号，，
于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图表示出来．
∴事件A共有12个元素．
法二：可以只考虑前两人摸球的情况，当第二人摸出的是白球时，有如下情形：
在上图中树状图内的第2阶树干处白球的下一阶树干各有2种情况，故共有12个元素．
一、选择题
1．下列命题：
①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件．
②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件．
③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件．
④若事件A与B为对立事件，则事件A∪B为必然事件．
其中，真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选B　①③不正确，②④正确．
2．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B．(ΩA)∪(ΩB)是必然事件
C．(ΩA)与(ΩB)一定互斥
D．(ΩA)与(ΩB)一定不互斥
解析：选B　可利用集合图示来表示，
如图：(ΩA)∪(ΩB)＝Ω，
∴(ΩA)∪(ΩB)是必然事件．
3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.
4．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，对立事件是(　　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：选C　①②④中的两事件可同时发生，故不属于对立事件；而③中两事件不能同时发生，且在试验中必有一个发生，故属于对立事件．
二、填空题
5．同时抛掷两个骰子，两个骰子的点数之和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，事件A＝{2,5,7}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，那么A∪B＝________，A∩B＝________.
解析：事件A∪B是和事件，事件A∩B是交事件，对应于集合的并集和交集，
∴A∪B＝{2,4,5,6,7,8,10,12}，A∩B＝{2}．
答案：{2,4,5,6,7,8,10,12}　{2}
6．袋中有红，白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，A＝“三次抽取的球的颜色恰有两次同色”．
则Ω＝________，A＝________，ΩA＝________.
解析：设用(x，y，z)分别表示取红，白球中任一个．
Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}，
A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}，
ΩA＝{(红，红，红)，(白，白，白)}，
答案：{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}
{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}
{(红，红，红)，(白，白，白)}
三、解答题
7．投掷两枚骰子，一枚是红色，一枚是蓝色，写出以下事件．
(1)A＝“红骰子点数是偶数”；
(2)B＝“蓝色点数是奇数”；
(3)A∩B.
解：用(i，j)表示红色骰子点数是i，蓝色点数是j，则
(1)A＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(4,4)，(4,5)，(4,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)B＝{(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，
(4,3)，(5,3)，(6,3)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)}．
(3)A∩B＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(6,1)，(6,3)，(6,5)}．
8．袋中有红、白、黄3个小球各2个，从中任取3个，用集合A，B，C表示下面(1)，(2)，(3)事件．
(1)恰有2个红球；
(2)恰有一个红球；
(3)恰有一个黄球；
(4)计算A∩C，AB，并解释它们的含义．
解：用x1，x2，y1，y2，z1，z2分别表示两个红球，两个白球，两个黄球，则
(1)A＝{x1x2y1，x1x2y2，x1x2z1，x1x2z2}，
(2)B＝{x1y1y2，x1y1z1，x1y1z2，x1y2z1，x1y2z2，x1z1z2，x2y1y2，x2y1z1，x2y1z2，x2y2z1，x2y2z2，x2z1z2}，
(3)C＝{x1x2z1，x1x2z2，x1y1z1，x1y1z2，x1y2z1，x1y2z2，x2y1z1，x2y1z2，x2y2z1，x2y2z2，y1y2z1，y1y2z2}．
(4)A∩C＝{x1x2z1，x1x2z2}＝“两球红色，一球黄色”
AB＝A＝“恰有两球是红色”．