2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第13章 13.2 概率及其计算

13．2概率及其计算
第一课时　古典概率模型
1．古典概率
(1)设试验的全集Ω有n个元素，且每个元素发生的可能性相同．当Ω的事件A包含了m个元素时，称P(A)＝为事件A发生的概率，简称为A的概率，并把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(2)特点：①试验中所有可能出现的元素只有有限个；
②每个元素出现的可能性相等．
(3)公式：
对于古典概型，事件A的概率计算公式为：P(A)＝.
2．概率的性质
(1)0≤P(A)≤1(概率总是[0,1]中的数)
(2)P(Ω)＝1，(必然事件的概率为1)
(3)P(?)＝0，(不可能事件的概率为零)
3．概率的加法公式
如果Ω的事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
4．对立事件的概率公式
如果A是全集Ω的事件，则P(ΩA)＝1－P(A)．
1．如何确定一个试验是否为古典概型？
提示：(1)试验中所有可能出现的元素是有限个．
(2)试验中每个元素出现的可能性相等．
2．若事件A?B，则P(A)与P(B)有什么关系呢？
提示：若A?B，则P(A)≤P(B)，P(A∪B)＝P(B)，P(A∩B)＝P(A)．
3．应用概率加法公式与对立事件中的概率公式应注意哪些问题？
提示：(1)应用概率加法公式的前提是全集中的两事件互斥，所以若想运用此公式，必须先判断两事件是否互斥，如果不互斥，则不能应用．
(2)对立事件的概率公式的实质是两对立事件的概率之和为1，当直接求某事件的概率比较麻烦时，可考虑运用此公式，转化为求其对立事件的概率．
简单的古典概型的概率
(山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解]　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，
{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
求解古典概型的概率“四步”法
1．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：(1)由题意，从小学中抽取的学校数目为：6×＝3，
从中学中抽取的学校数目为：6×＝2，
则从大学中抽取的学校数目为1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校．试验的全集Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个元素．
②用B表示事件从6所学校中抽取的2所学校均为小学，
则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个元素．
所以P(B)＝＝.
复杂古典概型的概率
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)M表示A1被选中，求P(M)；
(2)N表示B1和C1全被选中，求P(N)；
(3)P(M∪N)，P(M∩N)，P(ΩN)．
[解]　试验的全集
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，
(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，
(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，
(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
(1)M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，
(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
P(M)＝＝.
(2)N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，
∴P(N)＝＝.
(3)M∪N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B2，C2)，
(A1，B3，C2)，(A1，B1，C2)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，
∴P(M∪N)＝＝.M∩N＝{(A1，B1，C1)}，
∴P(M∩N)＝.P(ΩN)＝1－＝.
求较复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
2．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张，试验的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个元素．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
用M表示事件从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4.M＝{(A，D)，(A，E)，(B，D)}，M中共3个元素．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张，试验的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个元素．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
用事件N表示事件从六张卡片中任取两张，
这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4，
N＝{(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，
共8个元素．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
互斥事件、对立事件的概率
一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求
(1)取出的小球是红球或黑球的概率；
(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
[解]　记事件A＝“任取1球为红球”；B＝“任取1球为黑球”；C＝“任取1球为白球”；D＝“任取1球为绿球”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P1＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P2＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(或P2＝1－P(D)＝1－＝)．
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(ΩA)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
3．某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.
所以射中10环或9环的概率为0.3.
(2)因为射中7环以下的概率为0.1，
所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.
[随堂体验落实]
1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将牌点向下置于桌上，现从中任取一张，那么抽到的牌为红心的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　试验的全集中共有5个元素，而抽到红心有3种情况．∴P＝.
2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　试验的全集Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，取出的2个数之差的绝对值为2的有{(1,3)，(2,4)}，故所求概率为.
3．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面向上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　易计算“三次均反面向上”的概率为，
则“至少出现一次正面”向上的概率为1－＝.
4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
解析：“乙不输”意味着“乙获胜或两人下成和棋”，
故乙不输的概率为P＝＋＝.
答案：.
5．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，
试验的全集Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，共15个元素，
其中都是女同学的有3个，所以概率P＝＝.
答案：
[感悟高手解题]
[妙解题]
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
[解]　从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A，B，C，D，
则有P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－＝，
P(B)＝P(B∪C∪D)－P(C∪D)，
解得P(B)＝.同理，P(D)＝.
P(C)＝P(C∪D)－P(D)＝－＝.
一、选择题
1．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质就是第二次摸出白球的概率，因为袋内有2个白球和3个黑球，因此P＝.
2．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人同住一间房的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　试验的全集为
Ω＝{(甲A，乙B)，(甲A，乙A)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)}，
甲、乙同住一间房：{(甲A，乙A)，(甲B，乙B)}，
∴P＝＝.
3．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，试验的全集Ω＝{(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)}共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，
试验的全集Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个元素，而A的对立事件Ω/A仅有(丙，丁，戊)，
∴A的对立事件Ω/A的概率为P(Ω/A)＝，
∴P(A)＝1－P(Ω/A)＝.
二、填空题
5．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取得的子集是含有2个元素的集合的概率是________．
解析：{a，b，c}的所有子集共有8个：
?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
含有两个元素的子集有3个．
∴P＝.
答案：
6．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
解析：记“没有5点或6点”为事件A，则P(A)＝，
记“至少有一个5点或6点”为事件B，
因为A∩B＝?，A∪B为必然事件，
所以事件A与事件B是对立事件，
所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
所以至少有一个5点或6点的概率是.
答案：
7．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：试验的全集为
Ω＝{(B，E1，E2)，(B，E2，E1)，(E1，B，E2)，(E1，E2，B)，(E2，B，E1)，(E2，E1，B)}
共有6个元素，满足要求的有两个．
∴P＝＝.
答案：
8．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：用A，B，C表示3个白球，d表示黑球，则
Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，d)，(B，C)，(B，d)，(C，d)}共有6个元素．
两只球颜色不同的为{(A，d)，(B，d)，(C，d)}，
∴P＝＝.
答案：
三、解答题
9．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：(1)总体的平均数为(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.
(2)用A表示事件样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5.
Ω＝{(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)}共有15个元素，
A＝{(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)}共有7个元素，
∴P(A)＝.
10．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
第二课时　几 何 概 率
1．几何概率定义1
设试验的全集Ω是长度为正数的区间，A是Ω的子区间，如果试验的结果随机地落在Ω中，则称P(A)＝为事件A发生的概率，简称A的概率．
2．几何概率定义2
设试验的全集Ω是面积为正数的区域，A是Ω的子区域，如果试验的结果随机地落在Ω中，则称P(A)＝为事件A发生的概率，简称A的概率．
3．几何概率的性质
(1)0≤P(A)≤1(概率总是[0,1]中的数)．
(2)P(Ω)＝1(必然事件的概率是1)．
(3)P(?)＝0 (不可能事件的概率为0)．
(4)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)P(A)＋P(ΩA)＝1 (对立事件概率之和等于1)．
1．几何概率有什么特点？
提示：(1)试验中出现的结果有无限个．
(2)每个结果出现的可能性相等．
2．古典概型与几何概率的区别和联系是什么？
提示：几何概率也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概率的试验结果是无限的．联系是：每个基本事件的发生都是等可能的．几何概率的特点是每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．
3．“概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件一定是不可能事件”，这个说法正确吗？
提示：如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．
与长度有关的几何概率
某人欲从某车站乘车出差，已知从该站发往目的地的客车为每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
[解]　试验的全集为Ω＝[0,60]，
A＝[50,60]表示此人恰好等车的时间不多于10分钟，
由几何概率得P(A)＝＝，
即此人等车时间不多于10分钟的概率为.
与长度有关的几何概率问题，要把握好全集所代表的区域长度以及子区域所代表的 区域长度，当子区域被赋予了一定条件后可能变得较为复杂，因此，要时刻依据条件确定 区域长度．
1．(全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
解析：选B　如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
与面积有关的几何概率
墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
解：依题意知S正方形＝16×16＝256(cm2)，
S小圆＝π×22＝4π(cm2)，
S圆环＝π×42－π×22＝12π(cm2)，
S大圆＝π×62＝36π(cm2)，
S大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)cm2，
则(1)投中大圆的概率P(A1)＝≈0.442；
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率P(A2)＝≈0.147；
(3)投中大圆之外的概率
P(A3)＝＝1－＝1－P(A1)≈0.558.
求与面积有关的几何概率的步骤是：首先把事件转化为与之对应的区域，其次，求出相应区域的面积，最后利用面积比确定概率．
2．如图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．
解：记A＝{所投点落入小正方形内}，
S小正方形＝22＝4(cm2)，
S大正方形＝32＝9(cm2)，
∴P(A)＝＝.
∴所投的点落入小正方形内的概率是.
[随堂体验落实]
1．在区间[20,80]上随机取实数a，则实数a在区间[50,75]的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　P＝＝＝.
2．在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，点落在正方形内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由几何概率得P＝＝.
3.(全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　不妨设正方形的边长为2，
则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.
由题意，得S黑＝S圆＝，
故此点取自黑色部分的概率P＝＝.
4．向如图所示的圆内随机撒上一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是________．
解析：设圆的半径为R，由几何概率知P＝＝.
答案：
5．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解：如图设“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”为事件A，
由于区域Ω的面积为30×20＝600 (m2)，
阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
∴P(A)＝＝.
[感悟高手解题]
[妙解题]
甲、乙两人相约12∶00～13∶00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，试求两人能会面的概率．
[解]　在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线x＝60，直线y＝60，x轴、y轴围成一个正方形区域G.设甲12时x分到达会面地点，乙12时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点(x，y)对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型．甲、乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间差不超过20 min，即|y－x|≤20，x－20≤y≤x＋20，因此，图中的阴影区域g就表示“甲、乙能会面”．容易求得g的面积为602－402，即2 000，G的面积为3 600，由几何概型的概率计算公式，“甲、乙能会面”的概率为P(甲、乙能会面)＝＝.
一、选择题
1．“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m，
即空竹的运行范围为1－2×0.4＝0.2(m)，
故所求事件的概率为P＝＝.
2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为(　　)
A．0.25 B．0.5
C．0.6 D．0.75
解析：选D　大于1.5的数所在区域为[1.5,3]，
利用几何概率得P＝＝＝0.75.
3．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐渐减小，当P点到P1位置时，BA＝BP1，当P点到P2位置时，AB＝AP2，故点P在线段P1P2上时，△ABP中边AB最大，由题意可得P1P2＝CD.在Rt△BCP1中，BP＝CD2＋BC2＝AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝AB2，所以＝.
4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点D，则△DBC的面积大于的概率是(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
解析：选C　如图，在△ABC中，在AB上取点D使BD＝AB，则＝，此时S△DBC＝S.在AB边上取点D，则所有的随机结果为AB上的点，而使面积大于的点落在AD上，
∴P＝＝.
二、填空题
5．(江苏高考)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，
则所求概率P＝＝.
答案：
6.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析：作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，
随机试验中，射线OC可能落在∠AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC与∠BOC都不小于30°，
则OC落在∠DOE内，
∴P(A)＝＝.
答案：
7．在面积为S的△ABC内任选一点P，则△PBC的面积小于的概率是________．
解析：如图，EF为△ABC的中位线，
当点P位于四边形BEFC内时，S△PBC<，
又因为S△AEF＝S，所以S四边形BEFC＝S，
所以△PBC的面积小于的概率为＝.
答案：
8．(山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
解析：由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，
得 ＜3，即16k2＜9，解得－＜k＜.
由几何概型的概率计算公式可知P＝＝.
答案：
三、解答题
9．在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率．
解：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域Ω，线段AB的长为随机事件总的度量．
当点M位于图中线段AC′(AC′＝AC)上时，AM设事件D＝“AM则事件D的区域为AC′，事件D的度量为AC′的长．
则P(D)＝＝＝sin 45°＝，
所以AM的长小于AC的长的概率为.
10.如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径是12.2 cm，运动员在70米外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为n＝π×1222(cm2)的大圆内，而当中靶点落在面积为m＝π×12.22(cm2)的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率P(B)＝＝＝0.01，
即射中“黄心”的概率是0.01.