2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第13章 13.3 频率与概率

13．3频率与概率
1．频率
设Ω是某个试验的全集，A是Ω的事件．在相同的条件下将该试验独立地重复N次，我们称fN＝是N次独立重复试验中事件A发生的频率．
2．频率和概率的关系
在相同条件下，将一试验独立重复N次，用fN表示事件A在这N次试验中发生的频率．当N增加时，fN将在一个固定的数值P附近波动．这个数值P就是事件A的概率P(A)，于是fN是P(A)的估计．
1．频率和概率有什么区别？
提示：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)频率本身是随机的，试验前不能确定．
(3)概率是一个确定的数，是客观存在的．
2．概率的意义是什么？
提示：概率是用来度量事件发生可能性大小的量，小概率事件发生的可能性小，而大概率事件发生的可能性大．
事件的频率和概率
某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数N
10
20
50
100
200
500
击中10环的次数M
8
19
44
93
178
453
击中10环的频率
(1)计算表中击中10环的频率；
(2)该射击运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？
[解]　(1)由题意得击中10环的频率：
f10＝＝0.8，
f20＝＝0.95，
f50＝＝0.88，
f100＝＝0.93，
f200＝＝0.89，
f500＝＝0.906，
(2)因为频率接近0.9，故估计该射击运动员击中10环的概率约为0.9.
概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近．只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率．
1．某地区从某年起几年内考上大学的人数及其中的男生人数如表：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
考上大学人数
5 544
9 607
13 520
17 190
男生人数
2 883
4 970
6 994
8 892
(1)分别计算几年(1年，2年，3年，4年)内考上大学的学生是男生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区考上大学的学生是男生的概率约是多少？
解：(1)f1＝≈0.520 0，
f2＝≈0.517 3，
f3＝≈0.517 3，
f4＝≈0.517 3，
(2)估计这一地区考上大学的学生是男生的概率约为0.517 3.
随机模拟方法
在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．
(1)随机撒一把豆子，计算豆子落入半圆的概率．
(2)利用计算机模拟的方法估计π值．
[解]　(1)试验的全集是长方形
Ω＝{(x，y)|0≤x≤4,0≤y≤2}．
事件A＝{(x，y)|x2＋y2≤4,0≤y≤2}
是Ω的子集，根据面积的计算公式和几何概率定义得
P(A)＝＝＝.
(2)由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，
所以π≈×4，
这样就得到π的近似值．
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度型(一维)只用一组，面积型(二维)需要用两组．
(2)由所有基本事件总体(基本事件空间)对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
2.如图的矩形，长为5，宽为2，向矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析：矩形面积为5×2＝10，
故阴影部分的面积约为×10＝.
答案：
[随堂体验落实]
1．下列说法正确的是(　　)
A．某事件发生的频率fN(A)＝1.1
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
解析：选B　A，C，D都不正确，只有B正确．
2．抛掷一枚硬币20次，其中正面朝上的次数为(　　)
A．10次　　　　　　　　 　B．大于10次
C．小于10次 D．可能为10次
解析：选D　频率是随机的，不确定的，故D正确．
3．一枚均匀硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案：A
4．A是平面上不规则区域，作一个半径为12 cm的圆Ω，使得A?Ω，在Ω中随机投掷了3 000个质点，发现有1 440个质点落入区域A，估算A的面积为________cm2.
解析：×122×π＝π cm2.
答案：π
5．某篮球队员在今年的联赛上多次罚球，在最近的几次比赛中罚球投篮的结果如下表：
投篮次数/个
8
10
12
9
16
进球次数/个
6
8
9
7
12
进球频率
(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员罚球投篮1次，进球的概率大约是多少？
解：(1)f8＝0.75，f10＝＝0.8，f12＝0.75，f9≈0.78，f16＝0.75.
(2)频率越来越稳定在0.75，估计进球的概率大约是0.75.
[感悟高手解题]
[妙解题]
利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．
[解]　用随机模拟的方法可以估算点落在圆内的概率，
由几何概率公式可得点落在圆内的概率为，
这样就可以计算圆的面积．
利用圆面积公式可得S＝πr2＝π，
所以上面求得的S的近似值即为π的近似值．
于是，(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand，b1＝rand.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，
得到两组[－1,1]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1[满足a2＋b2≤1的点(a，b)数]．
(4)计算频率，即为点落在圆内的概率的近似值．
(5)设圆面积为S，则由几何概型概率公式得P＝.
∴≈，即S≈，即为正方形内切圆面积的近似值．
又∵S＝πr2＝π，∴≈，即为圆周率π的近似值．
一、选择题
1．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　)
A．P(A)≈　　　　　　　 　B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
解析：选A　对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈.
2．某厂产品的次品率为2%，估算该厂 8 000件产品中合格品的件数可能为(　　)
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
解析：选B　可以用频率估计8 000－8 000×2%＝7 840.
3．用计算器或计算机模拟掷骰子的试验，出现1点的频率为(　　)
A．0 B.
C. D．1
答案：B
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由cos＝得x＝±，函数y＝cos的周期为4，
由y＝cos的图象得，
使cosx的值介于0到之间的点落在和内．
∴所求概率P＝＝.
二、填空题
5．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示．数据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品.
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94 , 0.92 , 0.96 , 0.95 , 0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率均为0.95.设大约需抽查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.
答案：1 000
6．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
7．在区间[－2,2]上随机抽取一个数x，则x2位于0到1之间的概率是________．
解析：由题意可知，所求概率为＝.
答案：
8．A是平面上的不规则区域，作一个长12 m，宽8 m的矩形，使得A?Ω，利用计算机在Ω中随机投掷了2万个点，发现了有1.12万个质点落入区域A中，估算A的面积为________m2.
解析：质点落入A的频率是fN＝＝0.56，
A的面积≈fN×Ω的面积＝0.56×12×8＝53.76 (m2)．
答案：53.76
三、解答题
9．在某次射击比赛中，运动员A在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了运动员B，摘得该项目的金牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
A击中10环以上的次数
9
17
44
92
179
450
击中10环以上的频率
B击中10环以上的次数
8
19
44
93
177
453
击中10环以上的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在比赛中每次击中10环以上的概率．
解：(1)两位运动员击中10环以上的频率为：
A：0.9，0.85，0.88,0.92,0.895,0.9；
B：0.80,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906.
(2)由(1)中的数据可知，两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以两人击中10环以上的概率为0.9，也就是说两人的实力相当．
10．两艘船都要停泊在同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别为2 h和4 h，求有一艘船停靠时必须等待一段时间的概率．
解：以x和y分别表示甲、乙两艘船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的条件是－4≤x－y≤2，在平面直角坐标系中，(x，y)所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A＝“有一艘船停靠时必须等待一段时间”的所有可能结果由阴影部分表示．
sA＝242－×222－×202＝134，sΩ＝242，
∴P(A)＝＝＝.
1．元素、事件与全集的关系
对一次试验来说，元素是指试验中的可能结果，而事件指由试验中的某些元素组成的 集合，全集是试验中的所有元素组成的集合，它们间的关系是元素属于事件，而事件 包含于全集．
2．互斥事件与对立事件的问题
互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．
所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
3．频率与概率的关系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．
(2)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．比如全班每个人都做了10次掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
(3)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验均无关．比如，如果一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关．
4．概率的性质问题
(1)对于任一事件A来说，P(A)∈[0,1]．
(2)对于全集Ω来说，P(Ω)＝1.
(3)对于不可能事件?来说，P(?)＝0.
(4)对于互斥事件A，B来说，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对于对立事件A，ΩA来说，P(A)＋P(ΩA)＝1.
5．古典概型与几何概率问题．
处理古典概型与几何概率问题时，要注意以下两点
(1)事件发生的等可能性是否具备；
(2)元素的有限性与无限性．
其中，(1)是古典概型和几何概率必须要满足的首要条件，在满足(1)的情况下，若元素的个数有限，则属古典概型问题，利用P＝解决；若元素的个数无限，则属几何概率问题，可转化为长度问题或面积问题以及角度、体积等予以解决．
互斥、对立事件的概率求法
(1)两个事件互斥，也叫互不相容，若A∩B＝?，称事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)若A∩B＝?，A∪B＝Ω，则称事件A，B互为对立．则P(A)＋P(ΩA)＝1.
某地医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.2
0.3
0.2
0.04
求：(1)派出医生至多2人的概率；
(2)派出医生至少2人的概率．
[解]　设事件A＝“不派医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名及5名以上医生”．
(1)∵A，B，C，D，E，F彼此互斥，
且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.2，
∴P(A∪B∪C)＝0.1＋0.16＋0.2＝0.46.
故派出医生至多2人的概率为0.46.
(2)设G＝“派出医生至少2人”，
则ΩG＝“派出医生最多1人”，∴ΩG＝A∪B.
∴P(ΩG)＝P(A)＋P(B)＝0.26.
∴P(G)＝1－0.26＝0.74.
故派出医生至少2人的概率为0.74.
1．若A，B是互斥事件，则(　　)
A．P(A)＋P(B)<1　　　 　B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
解析：选D　若A，B互斥，但不对立，则P(A)＋P(B)<1，
若A，B互斥且对立，则P(A)＋P(B)＝1.
2．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量不小于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为________．
解析：设P表示质量在2.45～2.50 g的概率，则P＝1－0.22－0.20＝0.58.
答案：0.58
古典概型问题
用红、黄、蓝三种不同的颜色给3个长方形随机涂色，每个长方形只涂一种 颜色，求：
(1)3个长方形颜色都相同的概率；
(2)3个长方形颜色都不同的概率．
[解]　这是一个古典概型的概率问题，试验全集中元素的总数为27，如图：
红　　黄　　蓝
(1)设3个长方形都涂同一种颜色为事件A，
由图可知，事件A的基本事件有1×3＝3(个)，
所以P(A)＝＝.
(2)设3个长方形颜色都不同为事件B，
由图可知，事件B的基本事件有2×3＝6(个)，
所以P(B)＝＝.
3．某小组共有5名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　3名女生用a1，a2，a3表示，2名男生用b1，b2表示，
则试验的全集为{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10个元素，
而“至少有1名女生”的事件中元素有9个，故所求事件的概率为P＝.
4．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意，试验的全集
Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝＝，
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝，
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
几何概率问题
几何概率体现了数形结合的数学思想．主要是利用线段的长度，角的度数、图形的面积、几何体的体积等之间的比值来确定概率．
假设一直角三角形的两直角边长都是[0,1]间的随机数，试求事件“这一直角三角形的斜边长小于”的概率．
[解]　设两直角边长分别为x，y，则0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长＝<.如图所示，全集为边长为1的正方形区域，而满足条件的事件所在的区域的面积为×π×2＝.因此，所求事件“这一直角三角形的斜边长小于”的概率为＝.
设p在[0,5]上随机地取值，求方程x2＋px＋＋＝0有实根的概率．
[解]　若一元二次方程有实根，则Δ≥0.
即Δ＝p2－4＝p2－p－2＝(p＋1)(p－2)≥0.
解得p≤－1或p≥2.故所求的概率为：
P＝＝.
5．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设圆内每一个小正三角形的边长为r，
则一个三角形的面积为×r×r＝r2，
∴阴影部分的面积为r2.
又圆的面积为πr2，
∴点A落在区域M内的概率是＝.
6.如图，设一个质点等可能地落在xOy平面上的三角形区域D内，D是由直线x＝0，y＝0，x＋y＝2所围成的，设事件A为“质点落在直线y＝1的下侧”，求P(A)．
解：由题意知，质点等可能地落在区域D内，
所以事件A属几何概率，
因为SA＝S△AOB－S△BEF＝，S＝S△AOB＝2，
所以P(A)＝＝.