2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第13章 阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为(　　)
A．0.55　　　　　　　　　 　B．0.35
C．0.80 D．1.00
解析：选B　晴天的概率P＝1－0.45－0.20＝0.35.
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　分别从两个集合中各取一个数共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率为P＝＝.
3．如图，正方形ABCD中有一个不规则的图形M，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，每个点落入M中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　记“向正方形ABCD中随机投掷1个点，该点落入图形M中”为事件A.由于正方形ABCD的边长为2，故其面积S＝2×2＝4.而M的面积为1，由几何概型概率公式得每个点落入M中的概率P(A)＝.
4．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从5张卡片中随机抽取2张，共有10个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中卡片上数字之和为奇数的有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共6个基本事件，因此所求的概率为＝.
5．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a＋b，则(　　)
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m>11”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件
解析：选D　事件“m＝2”的概率为，故A错误；
事件“m>11”的概率为，故B错误；
事件“m＝2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；
a＝b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件，故D正确．
6．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，
其中两只球颜色不同的共有5种，所以其概率为.
7．质点在数轴的区间[0,2]上运动，假定质点出现在这个区间上各个位置的机会是均等的，那么质点出现在区间[0,1]上的概率为(　　)
A. B.
C. D.以上都不对
解析：选C　由几何概率可知P＝＝.
8.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，
所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，
故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
9．一枚硬币连续抛掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次反面的概率，则k的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B　记事件A＝“出现k次正面”，B＝“出现k＋1次反面”．
∵P(A)＝P(B)，又因为共有5种结果，
∴k＋(k＋1)＝5，∴k＝2.
10．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　将同色小球编号．从袋中任取两球．
试验的全集Ω＝{(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，
(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，
(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，共有15个元素，
而为一白一黑的共有6个元素，所以所求概率P＝＝.
11．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵甲和乙都不可能是第一名，
∴第一名只可能是丙、丁或戊，
又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，
∴这三个人获得第一名的概率是等可能的，
∴丙得第一名的概率为.
12．现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　K和S都不在盒子中的概率为，
则K和S在盒中的概率为1－＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
解析：由|x|≤1得－1≤x≤1，由几何概率知：
＝.
答案：
14．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：试验的全集Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个元素，其中和为5的有2个元素，所以所求概率为＝0.2.
答案：0.2
15．已知集合A＝{x|－1解析：由题意得A＝{x|－1由几何概型知：在集合A中任取一个元素x，
则“x∈A∩B”的概率为P＝.
答案：
16．如图阴影部分是圆O的内接正方形，随机撒314粒黄豆，则预测黄豆落在正方形内的约________粒．
解析：设正方形的边长为1，
则圆的半径为，
∴黄豆落在正方形的概率P＝＝.
∴落在正方形的黄豆约为×314≈200(粒)．
答案：200
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
(1)求次品出现的频率；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，
故P(A)≈0.05.
(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，
则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.
∴至少需进货1 053件衬衣．
18．(本小题满分12分)某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布图如图所示，其中测试成绩在120～130分数段(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，人数为5.
(1)各班被抽取的学生人数分别为多少？
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求测试成绩不小于90分的概率．
解：(1)由频率分布图知，抽取的学生总数为＝100.
因为各班被抽取的学生人数成等差数列，
设其公差为d，由4×22＋6d＝100，解得d＝2.
所以各班被抽取的学生人数分别是22 , 24 , 26 , 28.
(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，
则测试成绩不小于90分的概率为(0.035＋0.025＋0.01＋0.005)×10＝0.75.
19．(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)①两次不放回抽取小球，
试验的全集Ω＝{(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,21)，(22,1)}共12个，
事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)共4个．
所以P(A)＝＝.
②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于 “x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成区域 Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，
则P(B)＝＝＝1－.
20．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，
即{B1，B2}，故所求的概率为.
22．(本小题满分12分)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}．
(1)求直线l1∩l2＝?的概率；
(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．
解：(1)由题知，直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝.
设事件A为“直线l1∩l2＝?”．
又(a，b)的所有取值为(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,5)，(6,6)，共36种．
若l1∩l2＝?，则l1∥l2，即k1＝k2，则有b＝2a.
满足条件的实数对(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形．
所以P(A)＝＝.即直线l1∩l2＝?的概率为.
(2)设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，
由于直线l1与l2有交点，所以b≠2a.
联立方程解得
因为直线l1与l2的交点位于第一象限，
所以即解得b>2a，
又(a，b)的所有取值为(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,5)，(6,6)共36种．
满足条件的实数对(a，b)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共有6种．
∴P(B)＝＝.
即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为.
模块综合检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(　　)
A．0.95　　　　　　　　　 　B．0.7
C．0.35 D．0.05
解析：选D　“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，
所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，
“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，
故其概率为1－0.95＝0.05.
2．一个总体共有n个个体，分成3组，第一组的频数是第二组频数的3倍，第三组的频率为0.2，第一组比第三组多10个个体，则n的值为(　　)
A．25 B．20
C．15 D．10
解析：选A　第一组的频数是第二组频数的3倍，
说明第一组的频率也是第二组频率的3倍，
而第一、二组的频率之和为0.8，
所以第一、二组的频率分别为0.6,0.2，
又第一组比第三组多10个数据，
所以n＝＝25.
3．已知非空集合A，B满足A?B，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①③④是正确，②不正确．
4．(全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝.
5．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数是7，方差为2，则对于样本2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1，下列结论中正确的是(　　)
A．平均数是7，方差是2
B．平均数是14，方差是2
C．平均数是14，方差是8
D．平均数是13，方差是8
解析：选D　显然＝＋1＝7，
即＝＝6.
s2＝[(x1＋1－7)2＋(x2＋1－7)2＋…＋(xn＋1－7)2]＝[(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(xn－6)2]＝2，
那么，2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数
′＝2·＋1＝2×＋1＝2×6＋1＝13.
而方差s′2＝{[(2x1＋1)－13]2＋[(2x2＋1)－13]2＋…＋[(2xn＋1)－13]2}＝[(2x1－12)2＋(2x2－12)2＋…＋(2xn－12)2]＝[(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(xn－6)2]，即它的方差是8.
6．(全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和?两个空白框中，可以分别填入(　　)
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D　程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，
所以判断框中应填入A≤1 000，
由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，
故执行框中应填入n＝n＋2.
7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：选B　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
8．如图所示，是从一批产品中抽样得到数据的频率分布直方图，由图上可以估计数据所落范围的概率最大的是(　　)
A．[8.1,8.3) B．[8.2,8.4)
C．[8.4,8.5) D．[8.5,8.6)
解析：选C　利用频率估计概率，故数据落在[8.4,8.5)内概率最大．
9．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　)
A．81.2,4.4 B．78.8,4.4
C．81.2,84.4 D．78.8,75.6
解析：选A　由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差为4.4.
10．已知变量x，y的一组样本数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n.用最小二乘法求得回归直线方程y＝a＋bx，则这条直线必过定点(　　)
A．(0,0) B．(，0)
C．(0，) D．(，)
解析：选D　∵y＝a＋bx都过样本中心(，)．
11．执行如图所示的程序框图，当输入n＝6时，输出的S＝(　　)
A．84 B．49
C．35 D．25
解析：选C　该程序框图中S＝12＋32＋…，所以当n＝6时，S＝12＋32＋52＝35.
12.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α＝，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为(　　)
A．1－ B.
C. D.
解析：选A　由题知，直角三角形中较短的直角边长为1，较长的直角边长为，
所以中间小正方形的边长为－1，其面积为(－1)2＝4－2，
则飞镖落在小正方形内的概率为＝1－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．某公司一个月生产产品1 890件，其中特级品540件，一级品1350件，为了检验产品的包装质量，现用分层抽样的方法从产品中抽取一个容量为70的样本进行检验，其中抽取的特级品的件数是________．
解析：因为＝，
所以抽取的特级品的件数为540×＝20.
答案：20
14．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为________．
解析：前3组的频率之和为
1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75.
第2小组的频率是0.75×＝0.25.
设样本容量为n，则＝0.25，即n＝40.
答案：40
15．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率为________．
解析：设正方形ABCD的中心为O，从A，B，C，D，O五点中，随机取两点．全集Ω＝{AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO}，共10个元素，其中距离为的有AO，BO，CO，DO共4个，故所求概率为＝.
答案：
16.已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．
解析：由几何概率计算公式，得：粒子落在△ABD与△CBD中的概率之比等于△ABD与△CBD的面积之比，而△ABD与△CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)乙班的平均身高较高．
(2)因为甲班的平均身高为＝i＝170(cm)，
所以甲班的样本方差
s2＝(xi－)2＝[2×122＋2×92＋2×22＋12＋72＋82＋02]＝57.2.
(3)从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，
共有10种不同的取法：
(173,176)，(173,178)，(173,179)，(173,181)，(176,178)，
(176,179)，(176,181)，(178,179)，(178,181)，(179,181)．
设A表示随机事件“抽到身高为176 cm的同学”，
则A中的元素有4个：(173,176)，(176,178)，(176,179)，(176,181)．
故所求概率为P(A)＝＝.
18．(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2个，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，
试验的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个元素．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件：{(A，B)，(A，C)，(B，C)}，共3个元素．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，
试验的全集Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)， (C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个元素．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的
．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个元素．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
19．(本小题满分12分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，
900)
[900，
1 100)
[1 100，
1 300)
[1 300，
1 500)
[1 500，
1 700)
1 700，
1 900
[1 900，
＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；
(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．
解：(1)如下表
分组
[500，
900)
[900，
1 100)
[1 100，
1 300)
[1 300，
1 500)
[1 500，
1 700)
[1 700，
1 900)
[1 900，
＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
(2)由(1)可得
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.
(3)由(2)知，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.
15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管．
20．(本小题满分12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a<0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0.
(1)试验的元素共有12个：
(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，(－3,1)，(－3,2)，
(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，
(－1,2)，(－1,3)．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个元素，事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|－4≤a≤－1,1≤b≤3}，
构成事件A的区域为
{(a，b)|－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率为这两区域面积的比．
所以所求的概率P＝＝.
21．(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，
当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.