2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第11章 11.2 算法结构与程序框图

11.2算法结构与程序框图
第一课时　顺序结构
1．程序框图
(1)定义：程序框图是一种用程序框、流程线以及文字符号说明等基本元件的组合来表示算法的图形．
(2)基本元件及其功能
名　称
图　形
功　能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
数据的输入或者结果的输出
处理框(执行框)
赋值、计算，传送结果
判断框(选择框)
根据给定条件判断，成立时出口为“是”，否则为“否”
流程线
连接程序框，表示流程方向
连接点
连接需分页的程序框图的两部分
2.顺序结构
(1)概念：依次进行多个处理步骤的结构称为顺序结构，它是一种最简单、任何算法都不可缺少的基本结构．
(2)一般形式：顺序结构的一般形式可以用程序框图表示(如图)，其中A，B是两个依次执行的步骤．
1．程序框图通常由哪些基本元件组成？
提示：(1)表示相应操作的程序框(开始和结束必须要有终端框)；
(2)带箭头的流程线(画流程线时不要忘记箭头，因为箭头代表程序执行的走向)；
(3)框内(框外)必要的文字说明．
2．顺序结构的应用有哪些？
提示：(1)顺序结构描述的是最简单、最基本的算法结构．语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的；
(2)顺序结构对同一问题，往往途径并不唯一，要体会不同方法的优劣，从中选出最优的、最简单的、最易于计算机执行、人工操作尽量少的算法．
对程序框图的认识和理解
下列关于程序框图的框图符号的理解，正确的个数有(　　)
①任何一个程序框图都必须有起止框；
②输入框、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号；
④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1　　　　　 　B．2
C．3 D．4
[解析]　任何一个程序都有开始和结束，从而必须有起止框；输入、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现；判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号；判断框内的条件不是唯一的，如a＞b也可以写为a≤b.故①②③正确，④错误．
[答案]　C
画程序框图必须遵守的规则
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断框是二择一形式的判断，且仅有两个可能结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．
1．下列关于程序框图的说法正确的是(　　)
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③流程线只要是上下方向就表示上下执行，可以不要箭头；
④连接点是用来连接两个程序框图的．
A．①②③ B．②③
C．①④ D．①②
解析：选D　由框图符号及作用可知③④错误，流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连接程序框，是带箭头的直线或折线，应用时必须带箭头；连接点是连接同一个程序框图的不同部分的．
利用顺序结构表达算法
　求两底半径分别为1和4，且高为4的圆台的表面积及体积．写出该问题的一个算法，并画出程序框图．
[解]　算法：
S1：取r1＝1，r2＝4，h＝4；
S2：计算l＝；
S3：计算S1＝πr，S2＝πr，S3＝π(r1＋r2)l；
S4：计算S＝S1＋S2＋S3，V＝(S1＋＋S2)h；
S5: 输出S和V.
该算法的程序框图如图所示．
应用顺序结构表达算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程．
2．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计一个解决该问题的算法，并画出相应的程序框图．
解：算法如下：
第一步，输入R，h.
第二步，计算V＝πR2h.
第三步，输出V.
程序框图如图所示：
程序框图的功能识别
　如图所示是解决某个问题而绘制的算法框图，仔细分析各程序框内的内容及程序框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该算法框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?
[解]　(1)该算法框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．
其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3， ①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2. ②
由①②得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝x＋1.
∴当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，所以当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
顺序结构的框与框之间是按从上到下的顺序进行的，准确理解框图符号的定义及作用是解决此类问题的关键．
3．如图所示的程序框图的运行结果是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B.
C. D．4
解析：选B　由a＝2，b＝4，得S＝＋＝.
[随堂体验落实]
1．一个完整的程序框图至少包含(　　)
A．终端框和输入、输出框
B．终端框和处理框
C．终端框和判断框
D．终端框、处理框和输入、输出框
解析：选A　完整的程序框图必须有终端框，用来表示程序的开始与结束，还要包括输入、输出框，用来处理程序的执行，故选A.
2．下列说法中正确的是(　　)
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算的语句
C．输入框只能紧接在起始框之后
D．用程序框图表示算法，其优点是使算法表示得非常直观、清晰
解析：选D　程序框图中的符号有严格标准，不能由个人确定，故A错误；只能执行判断问题，不能执行计算语句，故B错误；输入框不一定紧接在起始框之后，也可在赋值框之后，故C错误．
3．阅读下列程序框图：
若输出结果为0，则①处的执行框内应填的是(　　)
A．x＝－1　　　　　 　B．b＝0
C．x＝1 D．a＝
解析：选A　先确定执行框内是给x赋值然后倒着推，b＝0时，2a－3＝0，a＝，a＝时，2x＋1＝，x＝－1.
4．下面程序框图表示的算法的运行结果是________．
解析：由题意P＝＝9，S＝＝6.
答案：6
5．已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离d，设计算法，并画出程序框图．
解：S1：输入x0，y0，A，B，C；
S2：计算z1＝Ax0＋By0＋C；
S3：计算z2＝A2＋B2；
S4：计算d＝；
S5：输出d.
按照以上所描述，画出程序框图如图．
[感悟高手解题]
[易错题]
已知f(x)＝x2－2x－3.画出求f(3)、f(－5)、f(5)的值的一个算法程序框图．
[错解]　程序框图如图所示．
[错因]　从框图可以看出一开始对x同时赋了三个数值，
但计算y的值时实际上只计算了一次，
即只计算了当x＝3时，y＝32－2×3－3，
输出y的值也只能是一个y＝0，即f(3)＝0.而f(－5)、
f(5)虽然也赋了值，但计算机却只执行了x＝3时的计算．
本算法错在对x赋值3次，相应的没有分别对y值替换3次，
违背了算法过程中要一步一步执行且每一步不可逆的规则．
[正解]　程序框图如图所示．
一、选择题
1．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的(　　)
A．处理框内　　　　　 　B．判断框内
C．输入、输出框内 D．终端框内
解析：选A　由处理框的意义可知，对变量进行赋值，执行计算语句，处理数据，结果的传送等都可以放在处理框内．
2.如图所示的程序框图表示的算法意义是(　　)
A．边长为3,4,5的直角三角形面积
B．边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积
C．边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积
D．以3,4,5为弦的圆面积
解析：选B　由直角三角形内切圆半径r＝，故选B.
3.如图所示的程序框图表示的算法描述不准确的是(　　)
A．可用来判断a，b，c是否是一组勾股数
B．可用来判断a，b，c之间的大小顺序
C．可用来判断(a，b)是否在直线x＝c上
D．可用来判断(a，b)与圆心在原点，半径为的圆的位置关系
解析：选B　从所给的程序框图可以看出此算法不能执行比较a，b，c三者大小的功能．
4.给出如图所示的程序框图：若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是(　　)
A．x＝2 B．b＝2
C．x＝1 D．a＝5
解析：选C　∵结果是b＝2，
∴2＝a－3，
即a＝5.
当2x＋3＝5时，得x＝1.
二、填空题
5．基本的程序框有________、________、________、________，其中________是任何程序框图中不可缺少的．
答案：起止框　输入、输出框　执行框　判断框　起止框
6.根据如图所示的程序框图所表示的算法，输出的结果是________．
解析：该算法的S1分别将X，Y，Z赋于1,2,3三个数，
S2使X取Y的值，即X取值变成2，
S3使Y取X的值，即Y的值也是2，
S4使Z取Y的值，即Z的取值也是2，
从而S5输出时，Z的值是2.
答案：2
7．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．
解析：由a1＝3，则b＝3＋a2，＝7，∴a2＝11.
答案：11
8．图1是计算图2中阴影部分面积的一个程序框图，则图1中①处应填________．
解析：正方形的面积为S1＝a2，扇形的面积为S2＝πa2，
则阴影部分的面积为S＝S1－S2＝a2－a2＝a2.
因此①处应填S＝a2.
答案：S＝a2
三、解答题
9．画出用消去法求解方程组的程序框图．
解：程序框图为：
10．如图所示的程序框图，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个问题．
(1)该程序框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值．　
(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值．
解：(1)该程序框图解决的是求二次函数
f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，
即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
所以－16＋4m＝0，
所以m＝4.
所以f(x)＝－x2＋4x.
因为f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，f(x)max＝4，
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.
第二课时　条 件 结 构
1．条件结构
在一个算法中，先根据条件是否成立作出判断，再决定执行哪一种操作，从而使算法流程产生不同流向的结构称为条件结构．
2．条件结构的两种形式
1．条件结构的两种形式有什么区别？
提示：一种是在两个分支中都包含算法的步骤，符合条件就执行步骤A，否则执行步骤B；另一种是在一个分支中包含算法的步骤A，而在另一个分支上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行步骤A，否则执行这个条件结构后的步骤．
2．条件结构与顺序结构有哪些共性？
提示：(1)执行时，一个入口，一个出口．注意：一个判断框有两个出口，但只有一个起作用，因此我们说在执行时，一个条件结构本质上只有一个出口．
(2)结构中每个程序框都有从入口进、出口出的路径．
简单条件结构的程序框图设计
已知分段函数f(x)＝设计一个算法，对输入的x的值，输出相应的函数值，并画出程序框图．
[解]　算法步骤如下：
S1：输入x；
S2：判断x，若x≥2，则y＝x2－x＋1；否则y＝x＋1；
S3：输出y.
程序框图如图所示．
解决求分段函数的函数值的问题，
一般采用条件结构来设计算法，由于自变量取不同范围内的值时，函数表达式不同，因此解决这类问题时，首先设置好判断框内的条件，然后根据条件是否成立选择不同的流向．
1．设计一个算法计算函数y＝|x－1|的函数值，并画出程序框图．
解：算法如下：
S1：输入x；
S2：判断x，若x≥1，
则y＝x－1，否则执行S3；
S3：y＝1－x；
S4：输出y.
程序框图如图所示．
与条件结构有关的读图问题
阅读程序框图，回答问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.55，则输出的结果为________．
[解析]　我们根据框图可以按顺序从上到下分析．
S1：输入a，b，c三个数；
S2：判断a与b，a与c的大小，如果a同时大于b，c，则输出a，否则执行S3；
S3：判断b与c的大小，因为a已小于b或c，则只需比较b与c的大小就能得出a，b，c中谁是最大的了，如果b>c，就输出b，否则输出c.
通过上面的分析，框图表示的算法是：给任意三个数a，b，c，输出最大的一个数．题中a>1,0[答案]　50.6
条件结构读图注意的两点
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
2．已知M＝ln 2，N＝lg 10，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________．
解析：依题意，可得M答案：ln 2
条件结构的实际应用
为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．
[解]　y与x之间的函数关系式为
y＝
算法设计如下：
第一步，输入每月用水量x(x≥0)．
第二步，判断输入的x是否超过7，若x>7，则应缴纳水费y＝1.9x－4.9；否则应缴纳水费y＝1.2x.
第三步，输出应缴水费y.
程序框图如图所示：
算法问题经常涉及到与现实生活有关的题目，解答时，首先根据题意写出函数的表达式，然后选择合适的结构设计程序框图，因此，解题的关键是写出函数解析式．
3．在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元．顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按九折收费；如果顾客买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费，请设计一个完成计费工作的算法，画出程序框图．
解：本题是一个实际问题，应先建立数学模型．假设用变量a表示顾客买的唱片数，用c表示顾客要缴纳的现金款，依题意应有：
c＝
算法步骤如下：
S1：输入a；
S2：若0≤a<5，则c＝25a，否则执行S3；
S3：若a<10，则c＝22.5a，否则(a≥10)c＝21.25a；
S4：输出c.
程序框图如图：
[随堂体验落实]
1．下列问题的算法宜用条件结构表示的是(　　)
A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离
B．由直角三角形的两条直角边求斜边
C．解不等式ax＋b>0(a≠0)
D．计算100个数的平均数
解析：选C　A、B、D只需顺序结构即可．
2．阅读下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21,32,75，则输出的值是(　　)
A．96　　　　　　　　　 　B．53
C．107 D．128
解析：选A　∵21<32，∴m＝21＋75＝96.即输出96.
3．若输入－5，按图中所示程序框图运行后，输出的结果是(　　)
A．－5 B．0
C．－1 D．1
解析：选D　因x＝－5，不满足x>0，所以在第一个判断框中执行“否”，在第二个判断框中，由于－5<0，执行“是”，所以得y＝1.
4．阅读程序框图，当x＝6时，输出的结果为________．
解析：由程序框图可得：f(x)＝∴当x＝6时，f(6)＝4.
答案：4
5．已知y＝|x－3|，下列程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整，其中①处应填________；②处应填________．
解析：由y＝|x－3|，需对x－3的正负进行判断．故判断框内应为x<3，
因为“是”时，为y＝3－x，故“否”时，即x≥3时，为y＝x－3.
答案：x<3　y＝x－3
6．画出解不等式ax>b(b≥0)的程序框图．
解：程序框图如图：
[感悟高手解题]
[多解题]
已知函数y＝设计算法程序框图，要求输入自变量后输出相应的 函数值．
[解]　法一：算法程序框图如图所示：
法二：算法程序框图如图所示：
[点评]　一般地在遇到含有分类讨论问题时，框图的结构设计都要用到条件结构，但应注意，不同的分类标准会画出不同的框图．
一、选择题
1．求下列函数的函数值的算法中需要用到条件结构的是(　　)
A．f(x)＝x2－1　　　　　 　B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝ D．f(x)＝2x
解析：选C　C项中函数f(x)是分段函数，需分类讨论x的取值范围，要用条件结构来设计算法，A，B，D项中均不需要用条件结构．
2．如图所示，给出一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入这样的x值的个数有(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　当x≤2时，x＝1或x＝0，则x＝y；
当2当x>5时，x＝不成立，所以满足题意的x的值有1,0,3.
3．对任意的非零实数a，b，若a?b的运算原理如图所示，且min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，则2?min{1，log0.30.1,30.1}的值为(　　)
A．0 B．1
C．2－log0.30.1 D．2－30.1
解析：选B　由程序框图知a?b＝
∵log0.30.1>log0.30.3＝1,30.1>1，
∴min{1，log0.30.1,30.1}＝1，
故2?min{1，log0.30.1,30.1}＝2?1＝2－1＝1.
4．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于(　　)
A．10 B．7
C．8 D．11
解析：选C　x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3－x1|<|x3－x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|成立，即为“是”，此时x2＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝11>7.5，不合题意；当x3>7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|不成立，即为“否”，此时x1＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝8>7.5，符合题意．
二、填空题
5．如图所示的程序框图，若a＝5，则输出b＝________.
解析：这是一个分段函数b＝的求值问题，
根据条件易知b＝52＋1＝26.
答案：26
6．如图所示的程序框图运行后输出结果为，则输入的x值为________．
解析：程序框图表示的是求分段函数
y＝的函数值，
由得x＝；
由得x＝－1.
又由无解，故x＝－1或x＝.
答案：－1或
7．已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写______；②处应填写________．
解析：∵满足判断框中的条件执行y＝2－x，
∴①处应填x<2.
不满足x<2即x≥2时，y＝log2x，
故②处应填y＝log2x.
答案：x<2　y＝log2x
8．定义某种新运算“?”：S＝a?b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子 5?4－3?6＝________.
解析：由题意知5?4＝5×(4＋1)＝25,3?6＝6×(3＋1)＝24，
所以5?4－3?6＝1.
答案：1
三、解答题
9．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：kg)，试画出计算费用f的框图．
解：框图如下：
10．已知如图所示的程序框图，其功能是给出x的值，求函数y＝f(x)对应的函数值．
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若输入的x值分别为x1和x2(|x1|<|x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围．
解：(1)由程序框图知该程序框图的功能是求函数f(x)＝|x2－1|的值，
故f(x)的解析式为f(x)＝|x2－1|.
(2)画出f(x)＝|x2－1|的图象，
由图象的对称性知，要使f(x1)＝f(x2)且|x1|<|x2|，需－1同时1故x1的取值范围是(－1,1)，x2的取值范围是[－，－1)∪(1，]．
第三课时　循 环 结 构
1．循环结构的概念
在算法中，从某处开始按照一定的条件重复执行某些步骤的结构称为循环结构，其中 反复执行的步骤形成循环体．
2．循环结构的两种形式
名称
直到型循环结构
当型循环结构
结构
特征
先执行循环体，再判断条件p是否成立，若条件p不成立，就继续执行循环体，直到条件p成立时才终止循环.
在每次执行循环体前都先判断条件p是否成立，当条件p成立，就执行循环体，当条件p不成立时才终止循环.
1．循环结构中一定有条件结构吗？
提示：循环结构中一定包含有条件结构，用于确定何时终止执行循环体．
2．循环结构如何控制循环次数？
提示：有些算法，循环次数可以预先设定；而有些算法预先难以知道循环次数，通过设置某个条件，当条件满足时，就重复操作；当条件不满足时，就退出循环．
3．当型循环和直到型循环有什么区别？
提示：(1)执行情况不同．当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．
(2)退出循环的条件不同，当型循环结构是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环结构是条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．
用循环结构解决累加、累乘问题
设计一个算法求＋＋＋…＋的值，并画出程序框图．
[解]　算法如下：
S1：令S＝0，i＝1；
S2：若i≤2 018成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法；
S3：S＝S＋；
S4：i＝i＋1，返回S2.
程序框图：
法一：
法二：
1．如果算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作，且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律，就可以引入循环变量参与运算，构成循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量，累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当，精确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.
2．利用循环结构表示算法时，在画出算法的框图之前就应该分析清楚循环结构的 三要素：
循环变量、循环体、循环终止条件，只有准确地把握了这三个要素，才能清楚地画出循环结构的算法框图．
(1)循环变量：一般分为累计变量和计数变量，应明确它的初始值、步式(指循环变量每次增加的值)、终值．
(2)循环体：也称循环表达式，它是算法中反复执行的部分．
(3)循环的终止条件：算法框图中用一个判断框来表示，用它判断是否继续执行循环体．
1．设计一个算法计算1＋2＋…＋100的值，并画出程序框图．
解：算法如下：
S1：令i＝1，S＝0；
S2：若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S结束算法；
S3：S＝S＋i；
S4：i＝i＋1，返回S2.
程序框图：
法一：
法二：
与循环结构有关的读图问题
某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V.那么在图中空白的判断框和处理框中，应填入下列四个选项中的(　　)
A．A>0，V＝S－T
B．A<0，V＝S－T
C．A>0，V＝S＋T
D．A<0，V＝S＋T
[解析]　∵S代表收入，T代表支出．程序框图执行到判断框时，需判定的是A被赋予的值代表的是收入还是支出，即A的正负，且当A代表收入时应累加到S，故填A>0，进而知T<0，∴V＝S＋T.
[答案]　C
高考对程序框图考查的类型之一就是读图，因此考生需要明白程序框图的作用是什么，解决的是一个什么样的问题，这样才能解决相应的问题．
2．如图给出一个计算1＋＋＋…＋的值的一个框图，其中①处应填________，②处应填________．
解析：∵开始时S＝0，i＝1，∴①处应为S＝S＋，
②处应为i＝i＋2.
答案：S＝S＋　i＝i＋2
循环结构的实际应用
某工厂2017年前6个月，销售收入逐月减少，6月份销售收入为3 000万元，受国家适度宽松的经济政策等有利因素的影响，工厂经济平稳回升，以后销售收入每月增长10%，那么2018年6月份该工厂月销售收入多少万元？试设计一个计算该工厂月销售收入的算法，并画出程序框图．
[解]　算法如下：
S1：令i＝1，S＝3 000；
S2：若i≤12成立，则执行S3；否则输出S，结束算法；
S3：S＝S×(1＋0.1)；
S4：i＝i＋1，返回S2.
程序框图如图：
利用循环结构解决应用问题的方法
3．某工厂2017年的生产总值为200万元，技术革新后预计以后每年的生产总值比上一年增加5%，问最早到哪一年年生产总值超过300万元．写出计算的一个算法并画出相应的框图．
解：算法如下：
S1：赋初始值n＝0，a＝200，r＝0.05；
S2：若a≤300，则执行S3，否则执行S6；
S3：T＝ar(计算年增量)；
S4：a＝a＋T(计算年产量)；
S5：n＝n＋1，重复执行S2；
S6：N＝2 017＋n；
S7：输出N.
框图如图所示：
[随堂体验落实]
1．①算法可以无限的操作下去；②算法的每一步操作必须是明确的，可行的；③一个程序框图一定包含顺序结构；④一个程序框图不一定包含条件结构和循环结构．
以上说法正确的个数是(　　)
A．1　　　　 　B．2　　　　　
C．3　　　　　 D．4
解析：选C　②③④是正确的，①不正确，算法步骤必须是有限的．
2．运行如图程序框图，输出的结果为(　　)
A．15 B．21
C．28 D．36
解析：选C　n＝1，S＝1＋0＝1；n＝2，S＝3；n＝3，S＝6；n＝4，S＝10；n＝5，S＝15；n＝6，S＝21；n＝7，S＝28.n＝8时，不满足n≤7，因此输出S＝28.
3.如图所示的框图表示的算法的功能是(　　)
A．计算小于100的奇数的连乘积
B．计算从1开始的连续奇数的连乘积
C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数
D．计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值
解析：选D　该算法的功能是计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值．
4．如图所示，该程序运行后输出的结果为________．
解析：i＝1时，S＝2×1＋1＝3；
i＝2时，S＝2×3＋1＝7；
i＝3时，S＝2×7＋1＝15；
i＝4时，S＝2×15＋1＝31；
i＝5时，S＝2×31＋1＝63；
i＝6时，退出循环；输出S＝63.
答案：63
5．根据条件把图中的程序框图补充完整，求区间[1,1 000]内所有奇数的和，(1)处填________；(2)处填________．
解析：求[1,1 000]内所有奇数和，初始值i＝1，S＝0，并且i＜1 000，
所以(1)应填S＝S＋i，(2)为i＝i＋2.
答案：(1)S＝S＋i　(2)i＝i＋2
6．设计一个程序框图，求满足1＋2＋3＋…＋n>2 018的最小正整数n.
解：程序框图如图所示：
[感悟高手解题]
[妙解题]
已知小于10 000的正偶数，当它被3,4,5,6除时，余数都是2，写出求这样的正偶数的算法的程序框图．
[解]　偶数首先一定是整数，因此，我们应该在程序的开始定义一个变量，并设初值为2，最后输出的是一个偶数，这个偶数应满足的条件是分别被3,4,5,6除时，余数为2，而且应该是同时满足上述条件．所以条件判断式中几个条件应该是“且”的关系．因为是对偶数进行处理，所以每次变量的增值应该是2，而不是1，这样才能保证每次是对偶数进行的处理，程序框图如图所示．
一、选择题
1．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．4
C．8 D．16
解析：选C　当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；
当k＝1时，满足k<3，因此S＝1×21＝2；
当k＝2时，满足k<3，因此S＝2×22＝8；
当k＝3时，不满足k<3，因此输出S＝8.
2．如图所示的程序框图，其功能是计算数列{an}前n项和的最大值S，则(　　)
A．an＝29－2n，S＝225
B．an＝31－2n，S＝225
C．an＝29－2n，S＝256
D．an＝31－2n，S＝256
解析：选B　由程序框图可知，该等差数列的首项为29，公差为－2，
故an＝29－(n－1)×2＝31－2n，
因为a15＝1，a16＝－1，所以S＝×15＝225.
3．(山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)
A.0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：选D　当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
二、填空题
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值等于________．
解析：第一次循环：S＝1，k＝1<4，S＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；
第二次循环：k＝2<4，S＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；
第三次循环：k＝3<4，S＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；
当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时S＝－3.
答案：－3
6．如图所示是求函数y＝－3x＋5，当x∈{0,3,6…，60}时的函数值的一个程序框图，则在①处应填________．
解析：根据所提供的数据并结合程序框图，知①处填x＝x＋3.
答案：x＝x＋3
7．如图所示的程序框图的输出结果为________．
解析：运行程序，第一次循环后，k＝3，S＝2；
第二次循环后，k＝5，S＝4；
第三次循环后，k＝7，S＝8；
第四次循环后，k＝9，S＝16.
此时S≤8不成立，故输出的k＝9.
答案：9
8．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，...，xn(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若n＝2，且x1，x2分别为1,2，则输出的结果S为________．
解析：当i＝1时，S1＝1，S2＝1；
当i＝2时，S1＝1＋2＝3，S2＝1＋22＝5，
此时S＝×＝.
i的值变成3，从循环体中跳出，输出S的值为.
答案：
三、解答题
9．画出求解1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋7×9的值的程序框图．
解：题目所求的是一些乘积的和，设计一个循环结构，计数变量设为i，累加变量设为S，每次循环S加上i×(i＋2)．程序框图如图所示：
10．某高中男子体育小组50 m跑成绩(单位：s)为：6.4，6.5，7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5.
设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩，并画出程序框图．
解：算法：S1：把计数变量n的初始值设为1；
S2：输入一个成绩r，判断r与6.8的大小．若r≥6.8，则执行S3；若r<6.8，则输出r，并执行S3；
S3：使计数变量n的值增加1；
S4：判断计数变量n与成绩个数9的大小．若n≤9，则返回S2；若n>9，则结束．
程序框图如下：