2019年数学湘教版必修5新设计同步（讲义）：第12章 12.1 总体和个体

12．1总体和个体
第一课时　总体、个体和总体均值　样本与样本均值
1．总体、个体
(1)所要调查对象的全体叫作总体．
(2)把总体中的每个成员叫作个体．
2．总体均值
总体平均是总体的平均值，也称为总体均值，常用μ表示总体均值．
3．样本
(1)从总体中抽取一部分个体，称这些个体为样本，也叫作观测数据．
(2)构成样本的个体数目为样本容量，简称样本量．
(3)从总体抽取样本的工作为抽样．
4．样本均值
(1)样本均值是样本的平均值，用表示．
(2)总体均值是总体的指标，是一个固定的量．但是样本均值依赖于样本的选择，不同的样本有不同的样本均值．
5．总体的估计
对于较大的样本容量n，样本的均值会接近μ，于是，是总体均值μ的近似，称为μ的估计．
1．当总体所包含的个体很多的时候，如何求得总体的平均数？
提示：用样本的平均数去估计总体的平均数．
2．每个数据增加相同的量，数据的均值如何变化？
提示：数据的均值也增加相同的量．
3．用样本的均值估计总体的均值合理吗？
提示：只要抽样合理，用样本的均值估计总体的均值是合理的．
求总体与样本的均值
某工厂人员及工资构成如下：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
周工资(元)
2 200
250
220
200
100
人数
1
6
5
10
1
求表中周工资的平均数．
[解]　设平均数为μ，则
μ＝＝300(元)．
平均数反映了一组数据整体水平，平均数的大小与一组数据中每个数据均有联系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动．
1．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
问：哪种玉米的苗长得较高？
解：甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
所以甲<乙．
所以乙种玉米的苗长得较高．
用样本的均值估计总体的均值
为估计一次性木质筷子的用量，2016年从某县共600家高、中、低档饭店中随机抽取10家进行调查，这10家饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0．6　3.7　2.2　1.5　2.8　1.7　1.2　2.1　3.2　1.0
(1)通过对样本的分析，估计该县2016年消耗了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；
(2)2018年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查数据显示，所抽查的10家饭店，每家饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2017年、2018年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2017年、2018年该县饭店数、全年营业天数均与2016年相同)．
[解]　(1)＝×(0.6＋3.7＋2.2＋1.5＋2.8＋1.7＋1.2＋2.1＋3.2＋1.0)＝2.0，
所以，估计该县2016年消耗一次性筷子为2.0×600×350＝420 000(盒)．
(2)设平均每年增长的百分率为x，则2.0×(1＋x)2＝2.42，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
所以平均每年增长的百分率为10%.,
1．当总体中个体数较多时，可通过合理抽取样本，用样本的均值来估计总体的均值．
2．对于(2)，实际上是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法求解．
2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：
天数
151～180
181～210
211～240
241～270
271～300
301～330
331～360
361～390
灯管数
1
11
18
20
25
16
7
2
试估计这种日光灯的平均使用天数．
解：各组的组中值分别为165 , 195 , 225 , 255 , 285 , 315 , 345 , 375，
由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
估计这种日光灯的平均使用天数约为268天．
[随堂体验落实]
1．某次考试有70 000名学生参加，为了了解这70 000名考生的数学成绩，从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是(　　)
A．1 000名考生是总体的一个样本
B．70 000名考生是总体
C．样本容量是1 000
D．以上说法都不对
解析：选C　由于考察的对象是考生的数学成绩，因此A、B错误，抽取的样本数为样本容量，因此C正确．故选C.
2．已知10个数据：1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201，1 199，1 204,1 195,1 199，则这10个数据的平均数是(　　)
A．1 300　　　　　　　　 　B．1 200
C．1 100 D．1 400
解析：选B　设平均数为，
则＝(1 203＋2×1 201＋1 194＋1 200＋2×1 204＋2×1 199＋1 195)
＝1 200.
3．若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则M＋N个数的平均数是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设M＋N个数的平均数为，
则＝.
4．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽出8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，结果如下表：
甲
3
4
5
6
8
8
8
10
乙
4
6
6
6
8
9
12
13
丙
3
3
4
7
9
10
11
12
估计三个厂家的这种产品的寿命分别是________、________、________.
解析：甲＝＝6.5，
乙＝＝8，
丙＝＝7.375.
答案：6.5　8　7.375
5．如果两组数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为和，那么一组数据x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是________．
解析：设x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数为μ，
μ＝＝＝＋.
答案：＋
6．甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：
甲　203　204　202　196　199　201　205　197　202　199
乙　201　200　208　206　210　209　200　193　194　194
(1)分别计算两个样本的平均数．
(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？
解：(1)甲＝(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8.
乙＝(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝201.5.
(2)∵甲<乙，∴甲包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．
[感悟高手解题]
[易错题]
求下列数据的平均数：
154 , 178 , 160 , 162 , 148 , 170.
[错解]　取a＝160，则相应一组新数据为：
－6 , 18 , 0,2 ，－12 ，10，
从而′＝×(－6＋18＋2－12＋10)＝2.4，
所以＝′＋a＝2.4＋160＝162.4.
[错因]　在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a的上下摆动时，用简化公式：＝′＋a，采用此方法，所得一组新数据易出错，特别是“0”的出现，所以在计算新的数据个数时，不能漏掉0，有时可数一下原数据的个数和新数据的个数是否一致，可以防止此类错误的发生．
[正解]　′＝×(－6＋18＋0＋2－12＋10)＝2，
∴＝′＋a＝2＋160＝162.
一、选择题
1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 , 89 , 90 , 95 , 93 , 94 , 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为(　　)
A．92　　　　　　　　　 　B．92.2
C．93.2 D．93
解析：选A　＝＝92.
2．期中考试以后，班长算出了全班40个同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选B　∵N＝＝M，∴＝1.
3．设是x1，x2，x3，…，xn的平均数，是x1＋，x2＋，x3＋，…，xn＋的平均数，则与的关系式是(　　)
A.＝ B.＝ ＋
C.＝  D.＝(＋)
解析：选B　＝
＝·＋
＝ ＋.
4．在一次数学测验中，某小组14名学生的成绩与全班的平均分85分的差分别是(单位：分)：2,3，－3，－5,12,12,8，－2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分是(　　)
A．87 B．88
C．86 D．85
解析：选A　2＋3＋(－3)＋(－5)＋12＋12＋8＋(－2)＋(－1)＋4＋(－10)＋(－2)＋5＋5＝28.
所以这个小组的平均分为85＋＝87.
二、填空题
5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的均值为________.
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
解析：该组数据的均值为：
＝(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10)＝3.
答案：3
6．某市有200名学生参加数学竞赛，现随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表
成绩(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
0
0
0
6
15
21
12
3
3
0
则样本的数学平均成绩为________．
解析：平均成绩：
＝＝6.
答案：6
7．某射击运动员在四次射击中分别打出10，x,10,8环成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的x＝________.
解析：根据题意，有9＝，∴x＝8.
答案：8
8．已知数据x1，x2，…，x10的平均数为＝20.则3x1,3x2，…，3x10的平均数为________．
解析：设3x1,3x2，…，3x10的平均数为′，则
′＝(3x1＋3x2＋…＋3x10)
＝(x1＋x2＋…＋x10)
＝×10×＝3＝3×20＝60.
答案：60
三、解答题
9．甲、乙两位同学某学科连续五次考试成绩为：
甲：68 , 69 , 70 , 71 , 72
乙：63 , 68 , 69 , 69 , 81
问两位同学的成绩谁较为稳定．
解：甲同学的成绩为68,69,70,71,72，
甲＝＝70；
乙同学的成绩为63,68,69,69,81，
乙＝＝70.
∴甲＝乙．甲同学的成绩集中于平均值附近，而乙同学的成绩与平均值偏离较大，故甲成绩较为稳定．
10．某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩(环数)如下：
甲：9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8；
乙：9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1.
求两个样本数据的平均数，估计哪位运动员水平较高．
解：甲＝×(9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8)＝9.11，
乙＝×(9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1)＝9.14，
∵乙>甲，
∴乙的成绩较高且稳定．
第二课时　方差和标准差
1．总体方差
当y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值时，称
σ2＝.
是总体的平均平方误差，简称总体方差或方差．
2．样本方差
给定n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差．
3．方差计算公式
s2＝(x＋x＋…＋x)－2.
4．标准差
(1)标准差是方差的算术平方根．
(2)如果s2是样本方差，s＝是样本标准差．
(3)如果σ2是总体方差，σ＝是总体标准差．
1．现实中的总体所包含个体数往往是很多的，如何求总体的方差和标准差？
提示：用样本的方差和标准差去估计总体的方差和标准差，只要样本的代表好，这样做就合理，也是可以接受的．
2．方差和标准差反映了样本数据的什么特点？
提示：方差和标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．标准差越小表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中．
3．标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？
提示：标准差的取值范围是[0，＋∞)，标准差为0意味着所有样本数据都相等．
求总体和样本的方差
甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
[解]　(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13(分)，
乙＝＝13(分)，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
1．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，方差描述波动大小．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
1．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
解：(1)甲＝7环，乙＝7环，
(2)s＝3.0，s＝1.2.
(3)甲、乙两名战士射靶10次的平均数相等，说明甲、乙两名战士平均水平相当，由s>s，说明乙战士比甲战士发挥稳定，成绩波动小．
求总体和样本的标准差
一名射击运动员射击8次所中环数如下：
9．9　10.3　9.8　10.1　10.4　10　9.8　9.7
(1)8次射击平均环数是多少？标准差是多少？
(2)环数落在－s与＋s之间的有几次？所占百分比是多少？
[解]　(1)∵＝＝＝10.
∴s＝＝＝0.235.
(2)－s＝10－0.235＝9.765，＋s＝10.235，
故落在－s与＋s之间的有5次，所占百分比为62.5.
1．在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
2．平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏差，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题．
2．为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的50名男生的身高进行了测量，结果见下表(单位：cm)：

(1)计算样本平均数和标准差；
(2)由样本数据估计总体中有多少数据落入(－s，＋s)区间．
解：(1)由计算器计算得到＝170.1，s＝5.5；
(2)∵＝170.1，s＝5.5，
∴区间(－s，＋s)为(164.6,175.6)．
由上表可知，落在区间(164.6,175.6)的数据有36个，样本数据有72%的数据落在区间(164.6,175.6)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.6,175.6)．
[随堂体验落实]
1．描述总体离散程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量可估计总体稳定性的是(　　)
A．样本平均值　　　　　 　B．样本方差
C．样本最大值 D．样本最小值
解析：选B　利用样本的方差和标准差能估计总体的稳定性．
2．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)
A．平均数是10，方差为2
B．平均数是11，方差为3
C．平均数是11，方差为2
D．平均数是10，方差为3
解析：选C　若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，
那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s.
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)
A. B.
C. D.2
解析：选D　＝1，a＝－1.
s2＝[(－1－1)2＋(－1)2＋02＋12＋22]＝×10＝2.
4．数据70 , 71 , 72 , 73的标准差是________．
解析：＝＝71.5，
s＝＝.
答案：
5．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：
餐费(元)
6
7
8
人数
10
20
20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是________，________.
解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是
＝×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，
方差是s2＝×[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝0.56.
答案：7.2　0.56
6．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？
解：甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73；
s＝×(142＋62＋42＋162＋42)＝104，
s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.
因为甲>乙，s>s，
所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
[感悟高手解题]
[妙解题]
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
[解析]　设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝7；
方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]＝4.
从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4,6,7,8,10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.
[答案]　10
一、选择题
1．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为s＝13.2，s＝26.26，则(　　)
A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐
B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐
C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
解析：选A　∵s2．甲、乙两名中学生在一年里各学科成绩的平均分相等，方差不相等，正确评价他们的学习情况是(　　)
A．因为他们的平均分相等，所以学习水平一样
B．成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度扎实
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定
D．平均分相等、方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，成绩忽高忽低
解析：选C　由方差的实际意义可得C正确．
3．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得的新数据的方差为(　　)
A.s2　　　　　　　 　B．s2
C．3s2 D．9s2
解析：选D　每个数据都扩大3倍，则这组数据的平均数也扩大3倍，
由s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－n)2]知方差扩大9倍．
4．有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　)
A．6 B.
C．66 D．6.5
解析：选A　∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差为：s2＝(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12)＝＝6.
二、填空题
5．已知样本数据9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________.
解析：∵9＋10＋11＋x＋y＝50，
1＋1＋(x－10)2＋(y－10)2＝10，
∴x＋y＝20，
x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
∴(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，
∴xy＝96.
答案：96
6．已知一个样本的方差s2＝×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋…＋(x10－4)2]，则这个样本的容量是________，平均数是________．
解析：样本容量为10，平均数为4.
答案：10　4
7．数据a1，a2，a3，…，an的方差为s2，则数据2a1,2a2,2a3，…，2an的方差为________．
解析：s2＝(xi－)2，(2xi－2)2＝4·(xi－)2＝4s2.
答案：4s2
8．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10.0
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是________．
解析：甲＝10.0，乙＝10.0，s＝0.02，s＝0.244，
s答案：甲
三、解答题
9．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：
机床甲
10
9.8
10
10.2
机床乙
10.1
10
9.9
10
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
解：①先计算平均直径：甲＝(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，
乙＝(10.1＋10＋9.9＋10)＝10，由于甲＝乙，
因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣．
②再计算方差：s＝[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
s＝[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.
由上述数据可知乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．
10．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示．(单位：mm)
平均数
方差
完全符合要求个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些．
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
解：(1)因为A，B两位同学成绩的平均数相同，同学B加工零件的完全符合要求个数较多，由此认为B的成绩好些．
(2)∵s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，
且s＝0.026，
∴s>s.在平均数相同的情况下，B的波动性小，
∴B的成绩好些．
(3)从图中折线图走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差逐渐减小，而A的稳定性变得越来越差，从竞赛的角度考虑，可选派A去参赛．